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2009 AMC 12B Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2009 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2009 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

El trapecio ABCDABCD tiene AD∥BC,AD \parallel BC, BD=1,BD = 1, ∠DBA=23∘,\angle DBA = 23^\circ, y ∠BDC=46∘.\angle BDC = 46^\circ. La razón BC:ADBC : AD es 9:5.9 : 5. ¿Cuánto vale CDCD?

Trapezoid ABCDABCD has AD∥BC,AD \parallel BC, BD=1,BD = 1, ∠DBA=23∘,\angle DBA = 23^\circ, and ∠BDC=46∘.\angle BDC = 46^\circ. The ratio BC:ADBC : AD is 9:5.9 : 5. What is CD?CD?

79\dfrac{7}{9}

45\dfrac{4}{5}

1315\dfrac{13}{15}

89\dfrac{8}{9}

1415\dfrac{14}{15}

Respuesta: B
Conceptos:teorema de la bisectriztrapeciorectas paralelas
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:

Traza la recta que pasa por DD paralela a AB,AB, que corta a BCBC en EE; entonces BE=ADBE = AD.

Draw the line through DD parallel to AB,AB, meeting BCBC at EE; then BE=ADBE = AD

Pista grande:

Demuestra que DEDE biseca ∠BDC,\angle BDC, luego aplica el teorema de la bisectriz en △BDC\triangle BDC.

Show DEDE bisects ∠BDC,\angle BDC, then apply the angle bisector theorem in △BDC\triangle BDC

Solución:

Traza la recta que pasa por DD paralela a AB,AB, que corta a BCBC en E,E, de modo que ABEDABED es un paralelogramo con BE=AD.BE = AD. Entonces ∠BDE=∠DBA=23∘,\angle BDE = \angle DBA = 23^\circ, y como ∠BDC=46∘,\angle BDC = 46^\circ, el segmento DEDE biseca ∠BDC.\angle BDC.

Por el teorema de la bisectriz en △BDC,\triangle BDC, ECBE=DCDB,\dfrac{EC}{BE} = \dfrac{DC}{DB}, así que CD=DB⋅BC−ADAD=1⋅(95−1)=45. \begin{aligned} CD &= DB \cdot \dfrac{BC - AD}{AD} \\ &= 1 \cdot \left(\dfrac{9}{5} - 1\right) \\ &= \dfrac{4}{5}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Draw the line through DD parallel to AB,AB, meeting BCBC at E,E, so ABEDABED is a parallelogram with BE=AD.BE = AD. Then ∠BDE=∠DBA=23∘,\angle BDE = \angle DBA = 23^\circ, and since ∠BDC=46∘,\angle BDC = 46^\circ, segment DEDE bisects ∠BDC.\angle BDC.

By the angle bisector theorem in △BDC,\triangle BDC, ECBE=DCDB,\dfrac{EC}{BE} = \dfrac{DC}{DB}, so CD=DB⋅BC−ADAD=1⋅(95−1)=45. \begin{aligned} CD &= DB \cdot \dfrac{BC - AD}{AD} \\ &= 1 \cdot \left(\dfrac{9}{5} - 1\right) \\ &= \dfrac{4}{5}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

Problema 15#15
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