Question

El trapecio $ABCD$ tiene $AD \parallel BC,$ $BD = 1,$ $\angle DBA = 23^\circ,$ y $\angle BDC = 46^\circ.$ La razón $BC : AD$ es $9 : 5.$ ¿Cuánto vale $CD$ ?

Trapezoid $ABCD$ has $AD \parallel BC,$ $BD = 1,$ $\angle DBA = 23^\circ,$ and $\angle BDC = 46^\circ.$ The ratio $BC : AD$ is $9 : 5.$ What is $CD?$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{13}{15}$

$\dfrac{8}{9}$

$\dfrac{14}{15}$

Solución:

Traza la recta que pasa por $D$ paralela a $AB,$ que corta a $BC$ en $E,$ de modo que $ABED$ es un paralelogramo con $BE = AD.$ Entonces $\angle BDE = \angle DBA = 23^\circ,$ y como $\angle BDC = 46^\circ,$ el segmento $DE$ biseca $\angle BDC.$

Por el teorema de la bisectriz en $\triangle BDC,$ $\dfrac{EC}{BE} = \dfrac{DC}{DB},$ así que $\begin{aligned} CD &= DB \cdot \dfrac{BC - AD}{AD} \\ &= 1 \cdot \left(\dfrac{9}{5} - 1\right) \\ &= \dfrac{4}{5}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Draw the line through $D$ parallel to $AB,$ meeting $BC$ at $E,$ so $ABED$ is a parallelogram with $BE = AD.$ Then $\angle BDE = \angle DBA = 23^\circ,$ and since $\angle BDC = 46^\circ,$ segment $DE$ bisects $\angle BDC.$

By the angle bisector theorem in $\triangle BDC,$ $\dfrac{EC}{BE} = \dfrac{DC}{DB},$ so $\begin{aligned} CD &= DB \cdot \dfrac{BC - AD}{AD} \\ &= 1 \cdot \left(\dfrac{9}{5} - 1\right) \\ &= \dfrac{4}{5}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años