Question

Supón que $0 \lt r \lt 3.$ A continuación hay cinco ecuaciones para $x.$ ¿Qué ecuación tiene la mayor solución $x$ ?

Assume $0 \lt r \lt 3.$ Below are five equations for $x.$ Which equation has the largest solution $x?$

$3(1 + r)^x = 7$

$3(1 + \frac{r}{10})^x = 7$

$3(1 + 2r)^x = 7$

$3(1 + \sqrt{r})^x = 7$

$3(1 + \frac{1}{r})^x = 7$

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Al resolver cada una se obtiene $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))}$ ; una base menor hace $x$ más grande.

Solving each gives $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))}$ ; a smaller base makes $x$ larger

Pista grande:

Compara los valores $r,\ \frac{r}{10},\ 2r,\ \sqrt{r},\ \frac{1}{r}$ para $0 \lt r \lt 3$ y halla el menor.

Compare the values $r,\ \frac{r}{10},\ 2r,\ \sqrt{r},\ \frac{1}{r}$ for $0 \lt r \lt 3$ and find the smallest

Solución:

Cada ecuación da $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))},$ que es mayor cuando la cantidad positiva $f(r)$ es menor.

Para $0 \lt r \lt 3,$ tenemos $\dfrac r{10}\lt r\lt2r$ y $\dfrac r{10}\lt\sqrt r$ porque $r\lt100.$ Además, $r^2\lt9\lt10,$ así que $\dfrac r{10}\lt\dfrac1r.$ Por tanto, $\frac{r}{10}$ es la menor de las cinco cantidades, y la ecuación (B) tiene la mayor solución.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each equation gives $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))},$ which is largest when the positive quantity $f(r)$ is smallest.

For $0 \lt r \lt 3,$ we have $\dfrac r{10}\lt r\lt2r$ and $\dfrac r{10}\lt\sqrt r$ because $r\lt100.$ Also $r^2\lt9\lt10,$ so $\dfrac r{10}\lt\dfrac1r.$ Thus $\frac{r}{10}$ is the smallest of the five quantities, and equation (B) has the largest solution.

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12B Problema 15

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años