Question

Supón que $0 \lt r \lt 3.$ A continuación hay cinco ecuaciones para $x.$ ¿Qué ecuación tiene la mayor solución $x$ ?

Assume $0 \lt r \lt 3.$ Below are five equations for $x.$ Which equation has the largest solution $x?$

$3(1 + r)^x = 7$

$3(1 + r/10)^x = 7$

$3(1 + 2r)^x = 7$

$3(1 + \sqrt{r})^x = 7$

$3(1 + 1/r)^x = 7$

Solución:

Cada ecuación da $x = \dfrac{\log(7/3)}{\log(1 + f(r))},$ que es mayor cuando la cantidad positiva $f(r)$ es menor.

Para $0 \lt r \lt 3,$ entre $r,\ \dfrac{r}{10},\ 2r,\ \sqrt{r},\ \dfrac{1}{r},$ el menor es $\dfrac{r}{10}$ : está por debajo de $r$ y por debajo de $\sqrt{r}$ ya que $r \lt 3 \lt 100.$ Así que la ecuación (B) tiene la mayor solución.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each equation gives $x = \dfrac{\log(7/3)}{\log(1 + f(r))},$ which is largest when the positive quantity $f(r)$ is smallest.

For $0 \lt r \lt 3,$ among $r,\ \dfrac{r}{10},\ 2r,\ \sqrt{r},\ \dfrac{1}{r},$ the smallest is $\dfrac{r}{10}$ : it is below $r$ and below $\sqrt{r}$ since $r \lt 3 \lt 100.$ So equation (B) has the largest solution.

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años