Question

¿Para qué valor de $n$ se cumple $\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i? \end{aligned}$ Nota: aquí $i = \sqrt{-1}.$

For what value of $n$ is $\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i? \end{aligned}$ Note: here $i = \sqrt{-1}.$

$24$

$48$

$49$

$97$

$98$

Respuesta: D

Conceptos:número complejo emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Agrupa los términos en bloques de cuatro potencias consecutivas de $i$ .

Group the terms in blocks of four consecutive powers of $i$

Pista grande:

Cada bloque $(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}$ con $k$ múltiplo de $4$ es igual a $2 - 2i$ .

Each block $(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}$ with $k$ a multiple of $4$ equals $2 - 2i$

Solución:

Para $k$ múltiplo de $4,$ $\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i. \end{aligned}$

Sumar los primeros $96$ términos (es decir $24$ bloques) da $24(2 - 2i) = 48 - 48i.$

Sumar el siguiente término $97i^{97} = 97i$ produce $48 - 48i + 97i = 48 + 49i.$ Así que $n = 97.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $k$ a multiple of $4,$ $\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i. \end{aligned}$

Summing the first $96$ terms (that is $24$ blocks) gives $24(2 - 2i) = 48 - 48i.$

Adding the next term $97i^{97} = 97i$ yields $48 - 48i + 97i = 48 + 49i.$ So $n = 97.$

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 12A Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años