Question

Un recipiente tiene una base cuadrada de $1 \times 1$ , una abertura cuadrada superior de $3 \times 3$ y cuatro caras trapezoidales congruentes, como se muestra. Empezando con el recipiente vacío, una manguera que suministra agua a ritmo constante tarda $35$ minutos en llenar el recipiente hasta la línea media de los trapecios.

¿Cuántos minutos más tardará en llenar el resto del recipiente?

A container has a $1 \times 1$ square bottom, a $3 \times 3$ open square top, and four congruent trapezoidal sides, as shown. Starting when the container is empty, a hose that runs water at a constant rate takes $35$ minutes to fill the container up to the midline of the trapezoids.

How many more minutes will it take to fill the remainder of the container?

$70$

$85$

$90$

$95$

$105$

Respuesta: D

Conceptos:volumen semejanza razón y proporción

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

A la fracción de altura $t$ la sección transversal es un cuadrado de lado $1 + 2t,$ así que su área es $(1 + 2t)^2$

At height fraction $t$ the cross-section is a square of side $1 + 2t,$ so its area is $(1 + 2t)^2$

Pista grande:

Compara el volumen hasta la línea media ( $t = \tfrac{1}{2}$ ) con el volumen total; el tiempo de llenado es proporcional al volumen.

Compare the volume up to the midline ( $t = \tfrac{1}{2}$ ) with the total volume; fill time is proportional to volume

Solución:

A la fracción de altura $t$ la sección cuadrada tiene lado $1 + 2t,$ así que el volumen llenado hasta la altura $t$ es $\int_0^t (1 + 2u)^2\,du.$ Hasta la línea media $\left(t = \tfrac{1}{2}\right)$ esto es $\tfrac{7}{6},$ y el volumen total es $\tfrac{13}{3}.$ El volumen restante es $\tfrac{13}{3} - \tfrac{7}{6} = \tfrac{19}{6},$ que es $\tfrac{19}{7}$ veces la primera parte, así que el resto tarda $35 \cdot \tfrac{19}{7} = 95$ minutos más.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

At height fraction $t$ the square cross-section has side $1 + 2t,$ so the volume filled up to height $t$ is $\int_0^t (1 + 2u)^2\,du.$ Up to the midline $\left(t = \tfrac{1}{2}\right)$ this is $\tfrac{7}{6},$ and the full volume is $\tfrac{13}{3}.$ The remaining volume is $\tfrac{13}{3} - \tfrac{7}{6} = \tfrac{19}{6},$ which is $\tfrac{19}{7}$ times the first part. So the remainder takes $35 \cdot \tfrac{19}{7} = 95$ more minutes.

Thus, the correct answer is D.

2025 AMC 12B Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años