Question

¿Para cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ de enteros no negativos menores que $20$ hay exactamente dos elementos distintos en el conjunto $\{i^x, (1+i)^y, z\},$ donde $i=\sqrt{-1}$ ?

For how many ordered triples $(x, y, z)$ of nonnegative integers less than $20$ are there exactly two distinct elements in the set $\{i^x, (1+i)^y, z\},$ where $i=\sqrt{-1}?$

$149$

$205$

$215$

$225$

$235$

Respuesta: D

Conceptos:número complejo análisis por casos conteo básico

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

$|i^x|=1$ siempre, mientras que $(1+i)^y$ tiene magnitud $2^{\frac{y}{2}}$

$|i^x|=1$ always, while $(1+i)^y$ has magnitude $2^{\frac{y}{2}}$

Pista grande:

Divide en tres casos según cuáles dos de las tres entradas coinciden, manteniendo la tercera distinta

Split into three cases by which two of the three entries coincide, keeping the third distinct

Solución:

Necesitamos que exactamente dos de $i^x,$ $(1+i)^y,$ $z$ sean iguales, con el tercero diferente. Los tres casos son los tres posibles pares iguales.

Caso $i^x=(1+i)^y:$ como $|i^x|=1$ pero $|(1+i)^y|=2^{\frac{y}{2}}\gt1$ para $y\ge1,$ necesitamos $y=0,$ así que $(1+i)^0=1$ y $i^x=1,$ es decir $x\in\{0,4,8,12,16\}.$ Entonces $z$ es cualquiera de los $19$ valores distintos de $1.$ Esto da $5\cdot19=95$ ternas.

Caso $i^x=z:$ el único valor entero no negativo de $i^x$ es $1$ (con $x$ múltiplo de $4$ ), así que $z=1$ y $(1+i)^y\ne1,$ lo que significa $y\ge1.$ Esto da $5\cdot19=95$ ternas.

Caso $(1+i)^y=z:$ como $(1+i)^2=2i,$ la potencia $(1+i)^y$ es un entero no negativo menor que $20$ solo para $y=0$ (valor $1$ ) o $y=8$ (valor $16$ ). Si $y=0,\ z=1,$ necesitamos $i^x\ne1,$ así que $x$ no es múltiplo de $4$ ( $15$ valores). Si $y=8,\ z=16,$ entonces $i^x$ nunca es $16,$ así que $x$ es libre ( $20$ valores). Esto da $15+20=35$ ternas.

En total $95+95+35=225.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We need exactly two of $i^x,$ $(1+i)^y,$ $z$ equal, with the third different. The three cases are the three possible equal pairs.

Case $i^x=(1+i)^y:$ since $|i^x|=1$ but $|(1+i)^y|=2^{\frac{y}{2}}\gt1$ for $y\ge1,$ we need $y=0,$ so $(1+i)^0=1$ and $i^x=1,$ i.e. $x\in\{0,4,8,12,16\}.$ Then $z$ is any of the $19$ values other than $1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $i^x=z:$ the only nonnegative-integer value of $i^x$ is $1$ (with $x$ a multiple of $4$ ), so $z=1$ and $(1+i)^y\ne1,$ meaning $y\ge1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $(1+i)^y=z:$ since $(1+i)^2=2i,$ the power $(1+i)^y$ is a nonnegative integer below $20$ only for $y=0$ (value $1$ ) or $y=8$ (value $16$ ). If $y=0,\ z=1,$ we need $i^x\ne1,$ so $x$ is not a multiple of $4$ ( $15$ values). If $y=8,\ z=16,$ then $i^x$ is never $16,$ so $x$ is free ( $20$ values). This gives $15+20=35$ triples.

Altogether $95+95+35=225.$

Thus, the correct answer is D.

2010 AMC 12B Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años