Question

¿Para cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ de enteros no negativos menores que $20$ hay exactamente dos elementos distintos en el conjunto $\{i^x, (1+i)^y, z\},$ donde $i=\sqrt{-1}$ ?

For how many ordered triples $(x, y, z)$ of nonnegative integers less than $20$ are there exactly two distinct elements in the set $\{i^x, (1+i)^y, z\},$ where $i=\sqrt{-1}?$

$149$

$205$

$215$

$225$

$235$

Solución:

Necesitamos que exactamente dos de $i^x,$ $(1+i)^y,$ $z$ sean iguales, con el tercero diferente. Los tres casos son los tres posibles pares iguales.

Caso $i^x=(1+i)^y:$ como $|i^x|=1$ pero $|(1+i)^y|=2^{y/2}\gt1$ para $y\ge1,$ necesitamos $y=0,$ así que $(1+i)^0=1$ y $i^x=1,$ es decir $x\in\{0,4,8,12,16\}.$ Entonces $z$ es cualquiera de los $19$ valores distintos de $1.$ Esto da $5\cdot19=95$ ternas.

Caso $i^x=z:$ el único valor entero no negativo de $i^x$ es $1$ (con $x$ múltiplo de $4$ ), así que $z=1$ y $(1+i)^y\ne1,$ lo que significa $y\ge1.$ Esto da $5\cdot19=95$ ternas.

Caso $(1+i)^y=z:$ como $(1+i)^2=2i,$ la potencia $(1+i)^y$ es un entero no negativo menor que $20$ solo para $y=0$ (valor $1$ ) o $y=8$ (valor $16$ ). Si $y=0,\ z=1,$ necesitamos $i^x\ne1,$ así que $x$ no es múltiplo de $4$ ( $15$ valores). Si $y=8,\ z=16,$ entonces $i^x$ nunca es $16,$ así que $x$ es libre ( $20$ valores). Esto da $15+20=35$ ternas.

En total $95+95+35=225.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We need exactly two of $i^x,$ $(1+i)^y,$ $z$ equal, with the third different. The three cases are the three possible equal pairs.

Case $i^x=(1+i)^y:$ since $|i^x|=1$ but $|(1+i)^y|=2^{y/2}\gt1$ for $y\ge1,$ we need $y=0,$ so $(1+i)^0=1$ and $i^x=1,$ i.e. $x\in\{0,4,8,12,16\}.$ Then $z$ is any of the $19$ values other than $1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $i^x=z:$ the only nonnegative-integer value of $i^x$ is $1$ (with $x$ a multiple of $4$ ), so $z=1$ and $(1+i)^y\ne1,$ meaning $y\ge1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $(1+i)^y=z:$ since $(1+i)^2=2i,$ the power $(1+i)^y$ is a nonnegative integer below $20$ only for $y=0$ (value $1$ ) or $y=8$ (value $16$ ). If $y=0,\ z=1,$ we need $i^x\ne1,$ so $x$ is not a multiple of $4$ ( $15$ values). If $y=8,\ z=16,$ then $i^x$ is never $16,$ so $x$ is free ( $20$ values). This gives $15+20=35$ triples.

Altogether $95+95+35=225.$

Thus, the correct answer is D.

2010 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años