Question

Un palíndromo de cinco dígitos es un entero positivo con dígitos respectivos $abcba$ , donde $a$ no es cero. Sea $S$ la suma de todos los palíndromos de cinco dígitos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $S$ ?

A five-digit palindrome is a positive integer with respective digits $abcba,$ where $a$ is not zero. Let $S$ be the sum of all five-digit palindromes. What is the sum of the digits of $S?$

$9$

$18$

$27$

$36$

$45$

Solución:

Escribe $\overline{abcba}=10001a+1010b+100c$ . Al sumar sobre todos los palíndromos, cada valor de $a\in\{1,\dots,9\}$ ocurre con $10\cdot10=100$ opciones de $b,c$ , y cada valor de $b$ o $c$ ocurre con $9\cdot10=90$ opciones de los otros dos dígitos.

Usando $\sum a=\sum b=\sum c=45$ , $\begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000. \end{gathered}$

La suma de los dígitos de $S$ es $4+9+5=18$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write $\overline{abcba}=10001a+1010b+100c.$ Summing over all palindromes, each value of $a\in\{1,\dots,9\}$ occurs with $10\cdot10=100$ choices of $b,c,$ and each value of $b$ or $c$ occurs with $9\cdot10=90$ choices of the other two digits.

Using $\sum a=\sum b=\sum c=45,$ $\begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000. \end{gathered}$

The sum of the digits of $S$ is $4+9+5=18.$

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años