Question

Sea $AB$ un diámetro de un círculo y $C$ un punto sobre $AB$ con $2 \cdot AC = BC.$ Sean $D$ y $E$ puntos del círculo tales que $DC \perp AB$ y $DE$ es un segundo diámetro. ¿Cuál es la razón entre el área de $\triangle DCE$ y el área de $\triangle ABD$ ?

Let $AB$ be a diameter of a circle and $C$ be a point on $AB$ with $2 \cdot AC = BC.$ Let $D$ and $E$ be points on the circle such that $DC \perp AB$ and $DE$ is a second diameter. What is the ratio of the area of $\triangle DCE$ to the area of $\triangle ABD?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Solución:

Sea $O$ el centro. Como $2 \cdot AC = BC,$ tenemos $AC = \dfrac{AB}{3},$ y $AO = \dfrac{AB}{2},$ así que $\begin{aligned} &CO = AO - AC \\ &= \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} \\ &= \dfrac{AB}{6}. \end{aligned}$

Los triángulos $DCO$ y $DAB$ comparten la misma altura desde $D$ hasta la recta $AB,$ así que $\dfrac{[DCO]}{[DAB]} = \dfrac{CO}{AB} = \dfrac{1}{6}.$

Como $O$ es el punto medio de $DE,$ los triángulos $DCO$ y $ECO$ tienen áreas iguales, así que $\begin{aligned} &[DCE] = 2\,[DCO] \\ &= \dfrac{2}{6}[DAB] = \dfrac{1}{3}[DAB]. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the center. Since $2 \cdot AC = BC,$ we have $AC = \dfrac{AB}{3},$ and $AO = \dfrac{AB}{2},$ so $\begin{aligned} &CO = AO - AC \\ &= \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} \\ &= \dfrac{AB}{6}. \end{aligned}$

Triangles $DCO$ and $DAB$ share the same altitude from $D$ to line $AB,$ so $\dfrac{[DCO]}{[DAB]} = \dfrac{CO}{AB} = \dfrac{1}{6}.$

Because $O$ is the midpoint of $DE,$ triangles $DCO$ and $ECO$ have equal areas, so $\begin{aligned} &[DCE] = 2\,[DCO] \\ &= \dfrac{2}{6}[DAB] = \dfrac{1}{3}[DAB]. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años