Question

En un dado estándar se quita uno de los puntos al azar, siendo cada punto igualmente probable de ser elegido. Luego se lanza el dado. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara superior tenga un número impar de puntos?

On a standard die one of the dots is removed at random with each dot equally likely to be chosen. The die is then rolled. What is the probability that the top face has an odd number of dots?

$\dfrac{5}{11}$

$\dfrac{10}{21}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{11}{21}$

$\dfrac{6}{11}$

Solución:

El dado tiene $21$ puntos, así que se quita un punto de la cara con $n$ puntos con probabilidad $\dfrac{n}{21}.$

Si se quita un punto de una cara impar, la cara superior es impar con probabilidad $\dfrac{1}{3}$ (cualquiera de las tres caras impares arriba); si es de una cara par, la superior es impar con probabilidad $\dfrac{2}{3}.$ El punto quitado está en una cara impar con probabilidad $\dfrac{1 + 3 + 5}{21}$ y en una cara par con probabilidad $\dfrac{2 + 4 + 6}{21}.$

Por lo tanto la respuesta es $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9}{21} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{12}{21} = \dfrac{33}{63} = \dfrac{11}{21}.$

Así, la respuesta correcta es D.

The die has $21$ dots, so a dot is removed from the face with $n$ dots with probability $\dfrac{n}{21}.$

If a dot is removed from an odd face, the top is odd with probability $\dfrac{1}{3}$ (any of the three odd faces on top); if from an even face, the top is odd with probability $\dfrac{2}{3}.$ The removed dot lies on an odd face with probability $\dfrac{1 + 3 + 5}{21}$ and an even face with probability $\dfrac{2 + 4 + 6}{21}.$

Hence the answer is $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9}{21} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{12}{21} = \dfrac{33}{63} = \dfrac{11}{21}.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años