Question

El octágono regular $ABCDEFGH$ tiene área $n.$ Sea $m$ el área del cuadrilátero $ACEG.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{m}{n}$ ?

Regular octagon $ABCDEFGH$ has area $n.$ Let $m$ be the area of quadrilateral $ACEG.$ What is $\dfrac{m}{n}?$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{3\sqrt{2}}{5}$

$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Los cuatro vértices $A, C, E, G$ forman un cuadrado, ya que son un vértice sí y otro no del octágono regular.

Tomando circunradio unitario, el área del octágono es $2\sqrt2$ y el cuadrado $ACEG$ tiene diagonal igual al diámetro del círculo, dando área $2.$

La razón es $\dfrac{2}{2\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The four vertices $A, C, E, G$ form a square, since they are every other vertex of the regular octagon.

Taking a unit circumradius, the octagon's area is $2\sqrt2$ and the square $ACEG$ has diagonal equal to the circle's diameter, giving area $2.$

The ratio is $\dfrac{2}{2\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}.$

Thus, B is the correct answer.