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Soluciones del 2020 AMC 12A

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Carlos tomó el 70%70\% de un pastel entero. Maria tomó un tercio de lo que sobró. ¿Qué fracción del pastel entero quedó?
Carlos took 70%70\% of a whole pie. Maria took one third of the remainder. What portion of the whole pie was left?
10%10\%
15%15\%
20%20\%
30%30\%
35%35\%
Conceptos:porcentajefracción
Nivel de dificultad: 840
Pista pequeña:
Después de que Carlos toma su parte, queda el 30%30\% del pastel.
After Carlos takes his share, 30%30\% of the pie remains
Pista grande:
Maria quita 13\tfrac13 de ese 30%30\%, así que queda 23\tfrac23 de lo restante
Maria removes 13\tfrac13 of that 30%30\%, so 23\tfrac23 of the remainder is left
Solución:
Después de que Carlos toma 70%,70\%, la porción restante es 30%.30\%.
Maria toma un tercio de esto, es decir 13⋅30%=10%,\tfrac13 \cdot 30\% = 10\%, dejando 30%−10%=20%.30\% - 10\% = 20\%.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
After Carlos takes 70%,70\%, the remaining portion is 30%.30\%.
Maria takes one third of this, namely 13⋅30%=10%,\tfrac13 \cdot 30\% = 10\%, leaving 30%−10%=20%.30\% - 10\% = 20\%.
Thus, C is the correct answer.

2.

El acrónimo AMC se muestra en la cuadrícula rectangular de abajo, con las líneas de la cuadrícula separadas 11 unidad. En unidades, ¿cuál es la suma de las longitudes de los segmentos que forman el acrónimo AMC?
The acronym AMC is shown in the rectangular grid below with grid lines spaced 11 unit apart. In units, what is the sum of the lengths of the line segments that form the acronym AMC?
1717
15+2215 + 2\sqrt{2}
13+4213 + 4\sqrt{2}
11+6211 + 6\sqrt{2}
2121
Conceptos:Teorema de Pitágorasfórmula de la distancia
Nivel de dificultad: 1020
Pista pequeña:
Un segmento que abarca una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba tiene longitud 2\sqrt{2}
A segment spanning one unit right and one unit up has length 2\sqrt{2}
Pista grande:
Suma por separado las piezas horizontales y verticales, y aparte las piezas diagonales
Total the horizontal and vertical pieces separately from the diagonal pieces
Solución:
Divide cada letra en sus segmentos. La AA es una diagonal de longitud 22,2\sqrt{2}, una vertical de longitud 2,2, y una barra transversal de longitud 1.1.
La MM tiene dos verticales de longitud 22 y dos diagonales de longitud 2\sqrt{2} cada una. La CC son tres lados de longitud 2.2.
Las piezas rectas suman 2+1+2+2+2+2+2=13,2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 13, y las piezas diagonales suman 22+2+2=42.2\sqrt2 + \sqrt2 + \sqrt2 = 4\sqrt2.
La suma es 13+42.13 + 4\sqrt2.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Split each letter into its segments. The AA is a diagonal of length 22,2\sqrt{2}, a vertical of length 2,2, and a crossbar of length 1.1.
The MM has two verticals of length 22 and two diagonals of length 2\sqrt{2} each. The CC is three sides of length 2.2.
The straight pieces total 2+1+2+2+2+2+2=13,2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 13, and the diagonal pieces total 22+2+2=42.2\sqrt2 + \sqrt2 + \sqrt2 = 4\sqrt2.
The sum is 13+42.13 + 4\sqrt2.
Thus, C is the correct answer.

3.

Una conductora viaja durante 22 horas a 6060 millas por hora, y durante ese tiempo su auto rinde 3030 millas por galón de gasolina. Le pagan $0.50\$0.50 por milla, y su único gasto es la gasolina a $2.00\$2.00 por galón. ¿Cuál es su tasa neta de pago, en dólares por hora, después de este gasto?
A driver travels for 22 hours at 6060 miles per hour, during which her car gets 3030 miles per gallon of gasoline. She is paid $0.50\$0.50 per mile, and her only expense is gasoline at $2.00\$2.00 per gallon. What is her net rate of pay, in dollars per hour, after this expense?
2020
2222
2424
2525
2626
Conceptos:tasaconversión de unidades
Nivel de dificultad: 1130
Pista pequeña:
En 22 horas recorre 120120 millas; halla su pago y su costo de gasolina para esa distancia
In 22 hours she drives 120120 miles; find her pay and her gasoline cost for that distance
Pista grande:
Divide las ganancias netas entre las 22 horas para obtener la tasa por hora
Divide the net earnings by the 22 hours to get the rate per hour
Solución:
En 22 horas recorre 120120 millas, ganando 120⋅$0.50=$60.120 \cdot \$0.50 = \$60.
Usa 120÷30=4120 \div 30 = 4 galones, con un costo de 4⋅$2.00=$8.4 \cdot \$2.00 = \$8.
Sus ganancias netas son $60−$8=$52,\$60 - \$8 = \$52, así que su tasa es $52÷2=$26\$52 \div 2 = \$26 por hora.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
In 22 hours she drives 120120 miles, earning 120⋅$0.50=$60.120 \cdot \$0.50 = \$60.
She uses 120÷30=4120 \div 30 = 4 gallons, costing 4⋅$2.00=$8.4 \cdot \$2.00 = \$8.
Her net earnings are $60−$8=$52,\$60 - \$8 = \$52, so her rate is $52÷2=$26\$52 \div 2 = \$26 per hour.
Thus, E is the correct answer.

4.

¿Cuántos enteros positivos de 44 dígitos (es decir, enteros entre 10001000 y 9999,9999, inclusive) que solo tienen dígitos pares son divisibles entre 55?
How many 44-digit positive integers (that is, integers between 10001000 and 9999,9999, inclusive) having only even digits are divisible by 5?5?
8080
100100
125125
200200
500500
Conceptos:principio de multiplicacióndivisibilidaddígitos
Nivel de dificultad: 1200
Pista pequeña:
Un número divisible entre 55 termina en 00 o 5,5, pero el último dígito también debe ser par
A number divisible by 55 ends in 00 or 5,5, but the last digit must also be even
Pista grande:
Cuenta las opciones para cada dígito: el dígito inicial no puede ser 00.
Count the choices for each digit: the leading digit cannot be 00
Solución:
Para ser divisible entre 55 el último dígito es 00 o 5,5, y para ser par debe ser 0.0. Así que el dígito de las unidades queda fijo.
El dígito inicial es un dígito par no nulo: 2,4,6,82, 4, 6, 8 dan 44 opciones. Cada uno de los dos dígitos centrales es cualquier dígito par 0,2,4,6,8,0, 2, 4, 6, 8, dando 55 opciones cada uno.
El total es 4⋅5⋅5⋅1=100.4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 1 = 100.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
To be divisible by 55 the last digit is 00 or 5,5, and to be even it must be 0.0. So the units digit is fixed.
The leading digit is a nonzero even digit: 2,4,6,82, 4, 6, 8 give 44 choices. Each of the two middle digits is any even digit 0,2,4,6,8,0, 2, 4, 6, 8, giving 55 choices each.
The total is 4⋅5⋅5⋅1=100.4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 1 = 100.
Thus, B is the correct answer.

5.

Los 2525 enteros desde −10-10 hasta 14,14, inclusive, se pueden ordenar formando un cuadrado de 55 por 55 en el que la suma de los números en cada fila, la suma de los números en cada columna, y la suma de los números en cada una de las diagonales principales sean todas iguales. ¿Cuál es el valor de esta suma común?
The 2525 integers from −10-10 to 14,14, inclusive, can be arranged to form a 55-by-55 square in which the sum of the numbers in each row, the sum of the numbers in each column, and the sum of the numbers along each of the main diagonals are all the same. What is the value of this common sum?
22
55
1010
2525
5050
Conceptos:cuadrado mágicosucesión aritmética
Nivel de dificultad: 1130
Pista pequeña:
El total de los 2525 números se reparte por igual entre las 55 filas
The total of all 2525 numbers is split equally among the 55 rows
Pista grande:
Suma la serie aritmética desde −10-10 hasta 14,14, luego divide entre 55.
Sum the arithmetic series from −10-10 to 14,14, then divide by 55
Solución:
La suma de los 2525 enteros es (−10+14)⋅252=50.\dfrac{(-10 + 14) \cdot 25}{2} = 50.
Las cinco filas tienen la misma suma y juntas dan el total, así que cada fila suma 50÷5=10.50 \div 5 = 10.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
The sum of the 2525 integers is (−10+14)⋅252=50.\dfrac{(-10 + 14) \cdot 25}{2} = 50.
The five rows each have the same sum and together account for the total, so each row sums to 50÷5=10.50 \div 5 = 10.
Thus, C is the correct answer.

6.

En la figura plana que se muestra abajo, 33 de los cuadrados unitarios han sido sombreados. ¿Cuál es el menor número de cuadrados unitarios adicionales que deben sombrearse para que la figura resultante tenga dos ejes de simetría?
In the plane figure shown below, 33 of the unit squares have been shaded. What is the least number of additional unit squares that must be shaded so that the resulting figure has two lines of symmetry?
44
55
66
77
88
Conceptos:simetría
Nivel de dificultad: 1270
Pista pequeña:
Los dos ejes de simetría deben ser la línea vertical central y la línea horizontal central del rectángulo
The two symmetry lines must be the central vertical and central horizontal lines of the rectangle
Pista grande:
Cada cuadrado sombreado obliga a que también se sombreen sus reflexiones respecto a ambos ejes
Each shaded square forces its reflections across both lines to be shaded too
Solución:
Para ambas simetrías, los ejes deben ser las líneas centrales vertical y horizontal de la cuadrícula de 55 por 44. Cada cuadrado sombreado obliga entonces a sombrear los cuadrados que se obtienen al reflejarlo respecto a cada eje.
El cuadrado superior está fuera del centro, así que su grupo de reflexión tiene 44 cuadrados, y requiere 33 más. El cuadrado del medio está sobre la columna central, así que su grupo tiene 22 cuadrados, y requiere 11 más. El cuadrado inferior derecho tiene de nuevo un grupo de 4,4, y requiere 33 más.
El menor número de cuadrados adicionales es 3+1+3=7.3 + 1 + 3 = 7.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
For both symmetries, the lines must be the vertical and horizontal center lines of the 55-by-44 grid. Every shaded square then forces the squares obtained by reflecting it across each line.
The top square lies off-center, so its reflection group has 44 squares, requiring 33 more. The middle square sits on the central column, so its group has 22 squares, requiring 11 more. The bottom-right square again has a group of 4,4, requiring 33 more.
The least number of additional squares is 3+1+3=7.3 + 1 + 3 = 7.
Thus, D is the correct answer.

7.

Siete cubos, cuyos volúmenes son 1,1, 8,8, 27,27, 64,64, 125,125, 216,216, y 343343 unidades cúbicas, se apilan verticalmente formando una torre en la que los volúmenes de los cubos decrecen de abajo hacia arriba. Salvo el cubo de abajo, la cara inferior de cada cubo descansa completamente sobre la cara superior del cubo que tiene debajo. ¿Cuál es el área superficial total de la torre (incluyendo la base) en unidades cuadradas?
Seven cubes, whose volumes are 1,1, 8,8, 27,27, 64,64, 125,125, 216,216, and 343343 cubic units, are stacked vertically to form a tower in which the volumes of the cubes decrease from bottom to top. Except for the bottom cube, the bottom face of each cube lies completely on top of the cube below it. What is the total surface area of the tower (including the bottom) in square units?
644644
658658
664664
720720
749749
Conceptos:área de superficiesuma de los primeros n cuadrados
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Los cubos tienen longitudes de lado 1,2,…,7;1, 2, \ldots, 7; trata por separado las cuatro caras verticales y las caras horizontales
The cubes have side lengths 1,2,…,7;1, 2, \ldots, 7; handle the four vertical faces and the horizontal faces separately
Pista grande:
Mirando directamente hacia abajo, toda el área horizontal orientada hacia arriba es igual a la base de 7×7;7 \times 7; lo mismo ocurre mirando hacia arriba
Looking straight down, all upward-facing horizontal area equals the base’s 7×7;7 \times 7; the same holds looking up
Solución:
Las longitudes de lado son 1,2,…,7.1, 2, \ldots, 7. Las cuatro caras laterales del cubo kk aportan 4k2,4k^2, así que las caras verticales suman 4(12+22+⋯+72)4(1^2 + 2^2 + \cdots + 7^2) =4⋅140=560.= 4 \cdot 140 = 560.
Visto directamente desde arriba, cada parche horizontal orientado hacia arriba se proyecta sobre la base de 7×77 \times 7 sin solaparse, dando 49.49. Visto desde abajo, sucede lo mismo, dando otros 49.49.
El área superficial total es 560+49+49=658.560 + 49 + 49 = 658.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
The side lengths are 1,2,…,7.1, 2, \ldots, 7. The four side faces of cube kk contribute 4k2,4k^2, so the vertical faces total 4(12+22+⋯+72)4(1^2 + 2^2 + \cdots + 7^2) =4⋅140=560.= 4 \cdot 140 = 560.
Viewed from directly above, every upward-facing horizontal patch projects onto the 7×77 \times 7 base without overlap, giving 49.49. Viewed from below, the same is true, giving another 49.49.
The total surface area is 560+49+49=658.560 + 49 + 49 = 658.
Thus, B is the correct answer.

8.

¿Cuál es la mediana de la siguiente lista de 40404040 números?
1,1, 2,2, 3,3, …,\ldots, 2020,2020, 12,1^2, 22,2^2, 32,3^2, …,\ldots, 202022020^2
What is the median of the following list of 40404040 numbers?
1,1, 2,2, 3,3, …,\ldots, 2020,2020, 12,1^2, 22,2^2, 32,3^2, …,\ldots, 202022020^2
1974.51974.5
1975.51975.5
1976.51976.5
1977.51977.5
1978.51978.5
Conceptos:mediana (datos)cuadrado perfectoconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 1440
Pista pequeña:
Con 40404040 números la mediana promedia el 20202020-ésimo y el 20212021-ésimo más pequeños
With 40404040 numbers the median averages the 20202020th and 20212021st smallest
Pista grande:
Los cuadrados hasta 20202020 provienen de 121^2 hasta 442;44^2; cuenta cuántas entradas de la lista son a lo sumo un entero dado
Squares up to 20202020 come from 121^2 through 442;44^2; count how many list entries are at most a given integer
Solución:
La mediana es el promedio del 20202020-ésimo y del 20212021-ésimo valores más pequeños.
Los cuadrados perfectos que son a lo sumo 20202020 son 12,…,4421^2, \ldots, 44^2 (ya que 442=193644^2 = 1936 y 452=202545^2 = 2025), así que hay 4444 de ellos.
En la lista, los números ≤1976\le 1976 son los 19761976 enteros 1,…,19761, \ldots, 1976 junto con esos 4444 cuadrados, sumando 1976+44=2020.1976 + 44 = 2020.
Así el 20202020-ésimo valor es 19761976 y el 20212021-ésimo valor es 1977,1977, haciendo que la mediana sea 1976+19772=1976.5.\dfrac{1976 + 1977}{2} = 1976.5.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
The median is the average of the 20202020th and 20212021st smallest values.
The perfect squares that are at most 20202020 are 12,…,4421^2, \ldots, 44^2 (since 442=193644^2 = 1936 and 452=202545^2 = 2025), so there are 4444 of them.
Among the list, the numbers ≤1976\le 1976 are the 19761976 integers 1,…,19761, \ldots, 1976 together with those 4444 squares, totaling 1976+44=2020.1976 + 44 = 2020.
Thus the 20202020th value is 19761976 and the 20212021st value is 1977,1977, making the median 1976+19772=1976.5.\dfrac{1976 + 1977}{2} = 1976.5.
Thus, C is the correct answer.

9.

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación tan⁡(2x)=cos⁡(x2)\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) en el intervalo [0,2π][0, 2\pi]?
How many solutions does the equation tan⁡(2x)=cos⁡(x2)\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) have on the interval [0,2π]?[0, 2\pi]?
11
22
33
44
55
Conceptos:trigonometría
Nivel de dificultad: 1560
Pista pequeña:
En [0,2π],[0, 2\pi], cos⁡(x2)\cos\left(\tfrac{x}{2}\right) decrece de manera constante desde 11 hasta −1-1.
On [0,2π],[0, 2\pi], cos⁡(x2)\cos\left(\tfrac{x}{2}\right) decreases steadily from 11 to −1-1
Pista grande:
tan⁡(2x)\tan(2x) tiene período π2;\tfrac{\pi}{2}; cuenta cuántas de sus ramas cruzan esa curva decreciente
tan⁡(2x)\tan(2x) has period π2;\tfrac{\pi}{2}; count how many of its branches cross that decreasing curve
Solución:
En [0,2π],[0, 2\pi], la gráfica de cos⁡(x2)\cos\left(\tfrac{x}{2}\right) es un solo arco que decrece de 11 a −1.-1.
La función tan⁡(2x)\tan(2x) tiene período π2\tfrac{\pi}{2} y asíntotas verticales en x=π4,3π4,5π4,7π4.x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}. Estas dividen el intervalo en cinco ramas. En cada rama, tan⁡(2x)\tan(2x) es estrictamente creciente, mientras que cos⁡(x2)\cos(\tfrac{x}{2}) es decreciente, así que hay a lo sumo una intersección por rama.
Cada una de las tres ramas interiores va de −∞-\infty a +∞,+\infty, así que tiene una intersección. En la primera rama, tan⁡(0)=0<1=cos⁡(0)\tan(0)=0\lt1=\cos(0) y la tangente tiende a +∞.+\infty. En la última, la tangente comienza en −∞-\infty y termina en 0>−1=cos⁡π.0\gt-1=\cos\pi. Por tanto, las dos ramas exteriores también tienen una intersección cada una, para un total de 55.
Así, E es la respuesta correcta.
On [0,2π],[0, 2\pi], the graph of cos⁡(x2)\cos\left(\tfrac{x}{2}\right) is a single arc decreasing from 11 down to −1.-1.
The function tan⁡(2x)\tan(2x) has period π2\tfrac{\pi}{2} with vertical asymptotes at x=π4,3π4,5π4,7π4.x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}. These split the interval into five branches. On every branch tan⁡(2x)\tan(2x) is strictly increasing, while cos⁡(x2)\cos(\tfrac{x}{2}) is decreasing, so there is at most one intersection per branch.
Each of the three interior branches runs from −∞-\infty to +∞,+\infty, so each has one intersection. On the first branch, tan⁡(0)=0<1=cos⁡(0)\tan(0)=0\lt1=\cos(0) and the tangent tends to +∞.+\infty. On the last, the tangent starts at −∞-\infty and ends at 0>−1=cos⁡π.0\gt-1=\cos\pi. Thus the two outer branches also have one intersection each, for 55 total.
Thus, E is the correct answer.

10.

Existe un único entero positivo nn tal que log⁡2(log⁡16n)=log⁡4(log⁡4n).\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).
¿Cuál es la suma de los dígitos de nn?
There is a unique positive integer nn such that log⁡2(log⁡16n)=log⁡4(log⁡4n).\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).
What is the sum of the digits of n?n?
44
77
88
1111
1313
Conceptos:logaritmosustitución
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
log⁡16n=12log⁡4n,\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n, así que sea y=log⁡4ny = \log_4 n.
log⁡16n=12log⁡4n,\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n, so let y=log⁡4ny = \log_4 n
Pista grande:
La ecuación se convierte en log⁡2(y2)=12log⁡2y;\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \tfrac12 \log_2 y; eleva al cuadrado para despejar yy.
The equation becomes log⁡2(y2)=12log⁡2y;\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \tfrac12 \log_2 y; square to solve for yy
Solución:
Como log⁡16n=12log⁡4n,\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n, sea y=log⁡4n.y = \log_4 n. La ecuación se convierte en log⁡2(y2)=log⁡4y=12log⁡2y.\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \log_4 y = \tfrac12 \log_2 y.
Multiplicando por 22 se obtiene log⁡2(y2)2=log⁡2y,\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = \log_2 y, así que (y2)2=y,\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = y, lo que da y=4.y = 4.
Entonces log⁡4n=4,\log_4 n = 4, así que n=44=256,n = 4^4 = 256, y la suma de los dígitos es 2+5+6=13.2 + 5 + 6 = 13.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Since log⁡16n=12log⁡4n,\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n, set y=log⁡4n.y = \log_4 n. The equation becomes log⁡2(y2)=log⁡4y=12log⁡2y.\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \log_4 y = \tfrac12 \log_2 y.
Multiplying by 22 gives log⁡2(y2)2=log⁡2y,\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = \log_2 y, so (y2)2=y,\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = y, which yields y=4.y = 4.
Then log⁡4n=4,\log_4 n = 4, so n=44=256,n = 4^4 = 256, and the digit sum is 2+5+6=13.2 + 5 + 6 = 13.
Thus, E is the correct answer.

11.

Una rana sentada en el punto (1,2)(1, 2) comienza una sucesión de saltos, donde cada salto es paralelo a uno de los ejes coordenados y tiene longitud 1,1, y la dirección de cada salto (arriba, abajo, derecha o izquierda) se elige de forma independiente al azar. La sucesión termina cuando la rana alcanza un lado del cuadrado con vértices (0,0),(0, 0), (0,4),(0, 4), (4,4),(4, 4), y (4,0).(4, 0). ¿Cuál es la probabilidad de que la sucesión de saltos termine en un lado vertical del cuadrado?
A frog sitting at the point (1,2)(1, 2) begins a sequence of jumps, where each jump is parallel to one of the coordinate axes and has length 1,1, and the direction of each jump (up, down, right, or left) is chosen independently at random. The sequence ends when the frog reaches a side of the square with vertices (0,0),(0, 0), (0,4),(0, 4), (4,4),(4, 4), and (4,0).(4, 0). What is the probability that the sequence of jumps ends on a vertical side of the square?
12\dfrac{1}{2}
58\dfrac{5}{8}
23\dfrac{2}{3}
34\dfrac{3}{4}
78\dfrac{7}{8}
Conceptos:camino aleatoriosistema de ecuacionessimetría
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Sea P(x,y)P(x, y) la probabilidad de terminar en un lado vertical; es igual al promedio de PP en los cuatro vecinos
Let P(x,y)P(x, y) be the probability of ending on a vertical side; it equals the average of PP at the four neighbors
Pista grande:
Usa la simetría: P(2,2)=12,P(2, 2) = \tfrac12, y los puntos interiores se reducen a un pequeño sistema de ecuaciones
Use symmetry: P(2,2)=12,P(2, 2) = \tfrac12, and the interior points reduce to a small system of equations
Solución:
Sea P(x,y)P(x, y) la probabilidad de terminar en un lado vertical. En un lado vertical P=1,P = 1, en un lado horizontal P=0,P = 0, y en un punto interior PP es el promedio de sus cuatro vecinos.
Por simetría izquierda-derecha P(2,2)=12.P(2, 2) = \tfrac12. Sea a=P(1,2),a = P(1, 2), b=P(1,1)=P(1,3),b = P(1, 1) = P(1, 3), y c=P(2,1)=P(2,3).c = P(2, 1) = P(2, 3). Entonces
a=14(1+12+2b),a = \tfrac14\left(1 + \tfrac12 + 2b\right),   b=14(1+c+a),\;b = \tfrac14(1 + c + a), y c=14(2b+12).c = \tfrac14\left(2b + \tfrac12\right).
Sustituyendo se obtiene b=12,b = \tfrac12, de donde a=38+12b=58.a = \tfrac38 + \tfrac12 b = \tfrac58.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Let P(x,y)P(x, y) be the probability of ending on a vertical side. On a vertical side P=1,P = 1, on a horizontal side P=0,P = 0, and at an interior point PP is the average of its four neighbors.
By left-right symmetry P(2,2)=12.P(2, 2) = \tfrac12. Let a=P(1,2),a = P(1, 2), b=P(1,1)=P(1,3),b = P(1, 1) = P(1, 3), and c=P(2,1)=P(2,3).c = P(2, 1) = P(2, 3). Then
a=14(1+12+2b),a = \tfrac14\left(1 + \tfrac12 + 2b\right),   b=14(1+c+a),\;b = \tfrac14(1 + c + a), and c=14(2b+12).c = \tfrac14\left(2b + \tfrac12\right).
Substituting gives b=12,b = \tfrac12, hence a=38+12b=58.a = \tfrac38 + \tfrac12 b = \tfrac58.
Thus, B is the correct answer.

12.

La recta ℓ\ell en el plano coordenado tiene la ecuación 3x−5y+40=0.3x - 5y + 40 = 0. Esta recta se rota 45∘45^\circ en sentido antihorario alrededor del punto (20,20)(20, 20) para obtener la recta k.k. ¿Cuál es la coordenada xx del intercepto en xx de la recta kk?
Line ℓ\ell in the coordinate plane has the equation 3x−5y+40=0.3x - 5y + 40 = 0. This line is rotated 45∘45^\circ counterclockwise about the point (20,20)(20, 20) to obtain line k.k. What is the xx-coordinate of the xx-intercept of line k?k?
1010
1515
2020
2525
3030
Conceptos:pendientetransformacióngeometría analítica
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
El punto (20,20)(20, 20) está sobre ℓ,\ell, así que también está sobre k;k; halla la nueva pendiente
The point (20,20)(20, 20) lies on ℓ,\ell, so it also lies on k;k; find the new slope
Pista grande:
Rotar una pendiente mm en 45∘45^\circ da m+11−m\dfrac{m + 1}{1 - m}.
Rotating a slope mm by 45∘45^\circ gives m+11−m\dfrac{m + 1}{1 - m}
Solución:
Nota que (20,20)(20, 20) satisface 3x−5y+40=0,3x - 5y + 40 = 0, así que está sobre ℓ\ell y permanece sobre k.k. La pendiente de ℓ\ell es 35.\tfrac{3}{5}.
Rotar en 45∘45^\circ da la pendiente 35+11−35=8525=4.\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4.
La recta kk es y−20=4(x−20).y - 20 = 4(x - 20). Haciendo y=0y = 0 se obtiene −20=4(x−20),-20 = 4(x - 20), así que x−20=−5x - 20 = -5 y x=15.x = 15.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Note (20,20)(20, 20) satisfies 3x−5y+40=0,3x - 5y + 40 = 0, so it is on ℓ\ell and remains on k.k. The slope of ℓ\ell is 35.\tfrac{3}{5}.
Rotating by 45∘45^\circ gives slope 35+11−35=8525=4.\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4.
Line kk is y−20=4(x−20).y - 20 = 4(x - 20). Setting y=0y = 0 gives −20=4(x−20),-20 = 4(x - 20), so x−20=−5x - 20 = -5 and x=15.x = 15.
Thus, B is the correct answer.

13.

Existen enteros a,a, b,b, y c,c, cada uno mayor que 1,1, tales que para todo N>1N \gt 1 se cumple NNNcba=N2536.\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}\text{.} ¿Cuánto vale bb?
There are integers a,a, b,b, and c,c, each greater than 1,1, such that NNNcba=N2536\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}} for all N>1.N \gt 1. What is b?b?
22
33
44
55
66
Conceptos:radicalexponente
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Escribe el lado izquierdo como NN elevado a la potencia 1a+1ab+1abc\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}.
Write the left side as NN to the power 1a+1ab+1abc\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}
Pista grande:
Iguala ese exponente a 2536\dfrac{25}{36} y despeja una variable anidada a la vez, empezando por a=2a = 2
Set that exponent equal to 2536\dfrac{25}{36} and peel off one nested variable at a time starting with a=2a = 2
Solución:
El lado izquierdo es NN elevado al exponente 1a+1ab+1abc,\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}, que debe ser igual a 2536.\dfrac{25}{36}.
Como b,c≥2,b,c\ge2, este exponente es a lo sumo 74a.\dfrac{7}{4a}. Si a≥3,a\ge3, es a lo sumo 712<2536,\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36}, así que a=2.a=2. La ecuación se convierte en 12b+12bc=736.\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}.
Al eliminar denominadores, c(7b−18)=18.c(7b-18)=18. Sea d=7b−18,d=7b-18, de modo que dd es un divisor positivo de 18.18. Entre 1,2,3,6,9,18,1,2,3,6,9,18, solo d=3d=3 hace que b=d+187b=\dfrac{d+18}{7} sea entero. Por tanto, b=3b=3 y c=6.c=6.
Así, B es la respuesta correcta.
The left side equals NN raised to the exponent 1a+1ab+1abc,\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}, which must equal 2536.\dfrac{25}{36}.
Because b,c≥2,b,c\ge2, this exponent is at most 74a.\dfrac{7}{4a}. If a≥3,a\ge3, it is at most 712<2536,\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36}, so a=2.a=2. The equation becomes 12b+12bc=736.\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}.
Clearing denominators gives c(7b−18)=18.c(7b-18)=18. Set d=7b−18,d=7b-18, so dd is a positive divisor of 18.18. Among 1,2,3,6,9,18,1,2,3,6,9,18, only d=3d=3 makes b=d+187b=\dfrac{d+18}{7} an integer. Hence b=3b=3 and c=6.c=6.
Thus, B is the correct answer.

14.

El octágono regular ABCDEFGHABCDEFGH tiene área n.n. Sea mm el área del cuadrilátero ACEG.ACEG. ¿Cuánto vale mn\dfrac{m}{n}?
Regular octagon ABCDEFGHABCDEFGH has area n.n. Let mm be the area of quadrilateral ACEG.ACEG. What is mn?\dfrac{m}{n}?
24\dfrac{\sqrt{2}}{4}
22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
34\dfrac{3}{4}
325\dfrac{3\sqrt{2}}{5}
223\dfrac{2\sqrt{2}}{3}
Conceptos:polígono regularrazón de áreas
Nivel de dificultad: 1690
Pista pequeña:
ACEGACEG es un cuadrado inscrito en el octágono
ACEGACEG is a square inscribed in the octagon
Pista grande:
Coloca el octágono de forma simétrica y calcula ambas áreas; los cuatro triángulos de las esquinas componen la diferencia
Place the octagon symmetrically and compute both areas; the four corner triangles make up the difference
Solución:
Los cuatro vértices A,C,E,GA, C, E, G forman un cuadrado, ya que son un vértice sí y otro no del octágono regular.
Tomando circunradio unitario, el área del octágono es 222\sqrt2 y el cuadrado ACEGACEG tiene diagonal igual al diámetro del círculo, dando área 2.2.
La razón es 222=12=22.\dfrac{2}{2\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
The four vertices A,C,E,GA, C, E, G form a square, since they are every other vertex of the regular octagon.
Taking a unit circumradius, the octagon’s area is 222\sqrt2 and the square ACEGACEG has diagonal equal to the circle’s diameter, giving area 2.2.
The ratio is 222=12=22.\dfrac{2}{2\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}.
Thus, B is the correct answer.

15.

En el plano complejo, sea AA el conjunto de soluciones de z3−8=0z^3 - 8 = 0 y sea BB el conjunto de soluciones de z3−8z2−8z+64=0.z^3 - 8z^2 - 8z + 64 = 0. ¿Cuál es la mayor distancia entre un punto de AA y un punto de BB?
In the complex plane, let AA be the set of solutions to z3−8=0z^3 - 8 = 0 and let BB be the set of solutions to z3−8z2−8z+64=0.z^3 - 8z^2 - 8z + 64 = 0. What is the greatest distance between a point of AA and a point of B?B?
232\sqrt{3}
66
99
2212\sqrt{21}
9+39 + \sqrt{3}
Conceptos:número complejofactorizaciónfórmula de la distancia
Nivel de dificultad: 1690
Pista pequeña:
AA son las tres raíces cúbicas de 8;8; factoriza la segunda cúbica agrupando
AA is the three cube roots of 8;8; factor the second cubic by grouping
Pista grande:
La mayor distancia empareja una raíz cúbica no real de 88 con la raíz real más lejana de la segunda ecuación
The largest distance pairs a nonreal cube root of 88 with the farthest real root of the second equation
Solución:
El conjunto AA consta de las raíces cúbicas de 8:8: 2,2, −1+i3,-1 + i\sqrt3, y −1−i3.-1 - i\sqrt3.
Factorizando por agrupación, z3−8z2−8z+64z^3 - 8z^2 - 8z + 64 =z2(z−8)−8(z−8)= z^2(z - 8) - 8(z - 8) =(z−8)(z2−8),= (z - 8)(z^2 - 8), así que B={8,22,−22},B = \{8, 2\sqrt2, -2\sqrt2\}, todas reales.
La mayor distancia va de −1±i3-1 \pm i\sqrt3 a 8:8: (8−(−1))2+(3)2\sqrt{(8 - (-1))^2 + (\sqrt3)^2} =81+3= \sqrt{81 + 3} =84=221.= \sqrt{84} = 2\sqrt{21}.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
The set AA consists of the cube roots of 8:8: 2,2, −1+i3,-1 + i\sqrt3, and −1−i3.-1 - i\sqrt3.
Factoring by grouping, z3−8z2−8z+64z^3 - 8z^2 - 8z + 64 =z2(z−8)−8(z−8)= z^2(z - 8) - 8(z - 8) =(z−8)(z2−8),= (z - 8)(z^2 - 8), so B={8,22,−22},B = \{8, 2\sqrt2, -2\sqrt2\}, all real.
The greatest distance is from −1±i3-1 \pm i\sqrt3 to 8:8: (8−(−1))2+(3)2\sqrt{(8 - (-1))^2 + (\sqrt3)^2} =81+3= \sqrt{81 + 3} =84=221.= \sqrt{84} = 2\sqrt{21}.
Thus, D is the correct answer.

16.

Se elige un punto al azar dentro del cuadrado en el plano coordenado cuyos vértices son (0,0),(0, 0), (2020,0),(2020, 0), (2020,2020),(2020, 2020), y (0,2020).(0, 2020). La probabilidad de que el punto esté a menos de dd unidades de un punto de la red es 12.\tfrac12. (Un punto (x,y)(x, y) es un punto de la red si xx e yy son ambos enteros.) ¿Cuánto vale dd redondeado a la décima más cercana?
A point is chosen at random within the square in the coordinate plane whose vertices are (0,0),(0, 0), (2020,0),(2020, 0), (2020,2020),(2020, 2020), and (0,2020).(0, 2020). The probability that the point is within dd units of a lattice point is 12.\tfrac12. (A point (x,y)(x, y) is a lattice point if xx and yy are both integers.) What is dd to the nearest tenth?
0.30.3
0.40.4
0.50.5
0.60.6
0.70.7
Conceptos:probabilidad geométricaárea del círculopunto reticular
Nivel de dificultad: 1730
Pista pequeña:
Por periodicidad, concéntrate en un único cuadrado unitario con un punto de la red en cada esquina
By periodicity, focus on a single unit square with a lattice point at each corner
Pista grande:
Los cuatro cuartos de disco en una celda unitaria forman un disco completo de radio d;d; iguala su área a 12\tfrac12.
The four quarter-disks in one unit cell form one full disk of radius d;d; set its area to 12\tfrac12
Solución:
Por periodicidad basta considerar una celda unitaria con un punto de la red en cada esquina. La región que está a menos de dd de una esquina consta de cuatro cuartos de disco de radio d,d, que forman un disco completo de área πd2.\pi d^2. El valor resultante será menor que 12,\tfrac12, así que estos cuartos de disco no se solapan.
Haciendo πd2=12\pi d^2 = \tfrac12 se obtiene d=12π≈0.399.d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399.
Redondeado a la décima más cercana, d=0.4.d = 0.4.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
By periodicity it suffices to consider one unit cell with a lattice point at each corner. The region within dd of a corner consists of four quarter-disks of radius d,d, forming one full disk of area πd2.\pi d^2. The resulting value will be less than 12,\tfrac12, so these quarter-disks do not overlap.
Setting πd2=12\pi d^2 = \tfrac12 gives d=12π≈0.399.d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399.
To the nearest tenth, d=0.4.d = 0.4.
Thus, B is the correct answer.

17.

Los vértices de un cuadrilátero están en la gráfica de y=ln⁡x,y = \ln x, y las coordenadas xx de estos vértices son enteros positivos consecutivos. El área del cuadrilátero es ln⁡9190.\ln\dfrac{91}{90}. ¿Cuál es la coordenada xx del vértice más a la izquierda?
The vertices of a quadrilateral lie on the graph of y=ln⁡x,y = \ln x, and the xx-coordinates of these vertices are consecutive positive integers. The area of the quadrilateral is ln⁡9190.\ln\dfrac{91}{90}. What is the xx-coordinate of the leftmost vertex?
66
77
1010
1212
1313
Conceptos:fórmula del cordónlogaritmocuadrática
Nivel de dificultad: 1860
Pista pequeña:
Sean las coordenadas xx iguales a n,n+1,n+2,n+3n, n+1, n+2, n+3 y aplica la fórmula del cordón de zapato
Let the xx-coordinates be n,n+1,n+2,n+3n, n+1, n+2, n+3 and apply the shoelace formula
Pista grande:
El área se simplifica a ln⁡(n+1)(n+2)n(n+3);\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}; iguálala a ln⁡9190\ln\dfrac{91}{90}.
The area simplifies to ln⁡(n+1)(n+2)n(n+3);\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}; set it equal to ln⁡9190\ln\dfrac{91}{90}
Solución:
Sean los vértices con coordenadas xx iguales a n,n+1,n+2,n+3n, n+1, n+2, n+3 y coordenadas yy iguales a ln⁡\ln de esos valores. Aplicando la fórmula del cordón de zapato y simplificando, el área es ln⁡(n+1)(n+2)n(n+3).\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}.
Haciendo (n+1)(n+2)n(n+3)=9190\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90} se obtiene 1+2n2+3n=9190,1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90}, así que n2+3n=180.n^2 + 3n = 180.
Entonces (n−12)(n+15)=0,(n - 12)(n + 15) = 0, así que n=12.n = 12.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Let the vertices have xx-coordinates n,n+1,n+2,n+3n, n+1, n+2, n+3 with yy-coordinates ln⁡\ln of those values. Applying the shoelace formula and simplifying, the area is ln⁡(n+1)(n+2)n(n+3).\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}.
Setting (n+1)(n+2)n(n+3)=9190\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90} gives 1+2n2+3n=9190,1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90}, so n2+3n=180.n^2 + 3n = 180.
Then (n−12)(n+15)=0,(n - 12)(n + 15) = 0, so n=12.n = 12.
Thus, D is the correct answer.

18.

El cuadrilátero ABCDABCD cumple ∠ABC=∠ACD=90∘,\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ, AC=20,AC = 20, y CD=30.CD = 30. Las diagonales ACAC y BDBD se cortan en el punto E,E, y AE=5.AE = 5. ¿Cuál es el área del cuadrilátero ABCDABCD?
Quadrilateral ABCDABCD satisfies ∠ABC=∠ACD=90∘,\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ, AC=20,AC = 20, and CD=30.CD = 30. Diagonals ACAC and BDBD intersect at point E,E, and AE=5.AE = 5. What is the area of quadrilateral ABCD?ABCD?
330330
340340
350350
360360
370370
Conceptos:geometría analíticacírculodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:
Coloca A=(0,0),A = (0,0), C=(20,0),C = (20, 0), y D=(20,30),D = (20, 30), de modo que E=(5,0)E = (5, 0)
Place A=(0,0),A = (0,0), C=(20,0),C = (20, 0), and D=(20,30),D = (20, 30), so E=(5,0)E = (5, 0)
Pista grande:
Como ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, BB está en el círculo de diámetro AC;AC; también está en la recta DEDE
Since ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, BB lies on the circle with diameter AC;AC; it also lies on line DEDE
Solución:
Coloca A=(0,0)A = (0,0) y C=(20,0).C = (20, 0). Como ∠ACD=90∘,\angle ACD = 90^\circ, D=(20,30),D = (20, 30), y E=(5,0)E = (5, 0) porque AE=5.AE = 5.
Como ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, BB está en el círculo de radio 1010 centrado en (10,0).(10, 0). La recta DEDE es (5+t, 2t);(5 + t,\, 2t); sustituyendo se obtiene t2−2t−15=0,t^2 - 2t - 15 = 0, así que t=5t = 5 o t=−3.t = -3.
Para que EE esté entre BB y D,D, toma t=−3,t = -3, lo que da B=(2,−6),B = (2, -6), a una distancia 66 por debajo de la recta AC.AC.
Entonces [ACD]=12⋅20⋅30=300[ACD] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 30 = 300 y [ABC]=12⋅20⋅6=60,[ABC] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 6 = 60, así que el área total es 360.360.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Place A=(0,0)A = (0,0) and C=(20,0).C = (20, 0). Since ∠ACD=90∘,\angle ACD = 90^\circ, D=(20,30),D = (20, 30), and E=(5,0)E = (5, 0) because AE=5.AE = 5.
Since ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, BB lies on the circle of radius 1010 centered at (10,0).(10, 0). Line DEDE is (5+t, 2t);(5 + t,\, 2t); substituting gives t2−2t−15=0,t^2 - 2t - 15 = 0, so t=5t = 5 or t=−3.t = -3.
For EE to lie between BB and D,D, take t=−3,t = -3, giving B=(2,−6),B = (2, -6), a distance 66 below line AC.AC.
Then [ACD]=12⋅20⋅30=300[ACD] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 30 = 300 and [ABC]=12⋅20⋅6=60,[ABC] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 6 = 60, so the total area is 360.360.
Thus, D is the correct answer.

19.

Existe una única sucesión estrictamente creciente de enteros no negativos a1<a2<⋯<aka_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k tal que 2289+1217+1=2a1+2a2+⋯+2ak.\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}. ¿Cuánto vale kk?
There exists a unique strictly increasing sequence of nonnegative integers a1<a2<⋯<aka_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k such that 2289+1217+1=2a1+2a2+⋯+2ak.\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}. What is k?k?
117117
136136
137137
273273
306306
Conceptos:base numéricapotencia de 2factorización
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:
Escribe x=217;x = 2^{17}; entonces el cociente es x17+1x+1=x16−x15+⋯+1\dfrac{x^{17} + 1}{x + 1} = x^{16} - x^{15} + \cdots + 1.
Write x=217;x = 2^{17}; then the quotient is x17+1x+1=x16−x15+⋯+1\dfrac{x^{17} + 1}{x + 1} = x^{16} - x^{15} + \cdots + 1
Pista grande:
Agrupa los términos alternados en pares xm+1−xm=217m(217−1),x^{m+1} - x^m = 2^{17m}(2^{17} - 1), cada uno un bloque de 1717 unos en binario
Group the alternating terms into pairs xm+1−xm=217m(217−1),x^{m+1} - x^m = 2^{17m}(2^{17} - 1), each a block of 1717 ones in binary
Solución:
Sea x=217.x = 2^{17}. Entonces 2289+1217+1\dfrac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} =x17+1x+1= \dfrac{x^{17} + 1}{x + 1} =x16−x15+⋯−x+1,= x^{16} - x^{15} + \cdots - x + 1, una suma alternada de las 1717 potencias x0,x1,…,x16.x^0, x^1, \ldots, x^{16}.
Empareja cada potencia restada con la potencia sumada justo por encima de ella: xm+1−xmx^{m+1} - x^m =217m(217−1)= 2^{17m}(2^{17} - 1) =217m+217m+1= 2^{17m} + 2^{17m+1} +⋯+217m+16,+ \cdots + 2^{17m+16}, un bloque de 1717 potencias consecutivas de 2.2.
Hay 88 pares de este tipo, junto con el sobrante +20.+2^0. Los bloques ocupan rangos disjuntos, así que el número total de potencias es 8⋅17+1=137.8 \cdot 17 + 1 = 137.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Let x=217.x = 2^{17}. Then 2289+1217+1\dfrac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} =x17+1x+1= \dfrac{x^{17} + 1}{x + 1} =x16−x15+⋯−x+1,= x^{16} - x^{15} + \cdots - x + 1, an alternating sum of the 1717 powers x0,x1,…,x16.x^0, x^1, \ldots, x^{16}.
Pair each subtracted power with the added power just above it: xm+1−xmx^{m+1} - x^m =217m(217−1)= 2^{17m}(2^{17} - 1) =217m+217m+1= 2^{17m} + 2^{17m+1} +⋯+217m+16,+ \cdots + 2^{17m+16}, a block of 1717 consecutive powers of 2.2.
There are 88 such pairs, together with the leftover +20.+2^0. The blocks occupy disjoint ranges, so the total number of powers is 8⋅17+1=137.8 \cdot 17 + 1 = 137.
Thus, C is the correct answer.

20.

Sea TT el triángulo en el plano coordenado con vértices (0,0),(0, 0), (4,0),(4, 0), y (0,3).(0, 3). Considera las siguientes cinco isometrías (transformaciones rígidas) del plano: rotaciones de 90∘,90^\circ, 180∘,180^\circ, y 270∘270^\circ en sentido antihorario alrededor del origen, la reflexión respecto al eje xx, y la reflexión respecto al eje yy. ¿Cuántas de las 125125 sucesiones de tres de estas transformaciones (no necesariamente distintas) devolverán TT a su posición original? (Por ejemplo, una rotación de 180∘180^\circ, seguida de una reflexión respecto al eje xx, seguida de una reflexión respecto al eje yy, devolverá TT a su posición original, pero una rotación de 90∘90^\circ, seguida de una reflexión respecto al eje xx, seguida de otra reflexión respecto al eje xx, no devolverá TT a su posición original.)
Let TT be the triangle in the coordinate plane with vertices (0,0),(0, 0), (4,0),(4, 0), and (0,3).(0, 3). Consider the following five isometries (rigid transformations) of the plane: rotations of 90∘,90^\circ, 180∘,180^\circ, and 270∘270^\circ counterclockwise around the origin, reflection across the xx-axis, and reflection across the yy-axis. How many of the 125125 sequences of three of these transformations (not necessarily distinct) will return TT to its original position? (For example, a 180∘180^\circ rotation, followed by a reflection across the xx-axis, followed by a reflection across the yy-axis will return TT to its original position, but a 90∘90^\circ rotation, followed by a reflection across the xx-axis, followed by another reflection across the xx-axis will not return TT to its original position.)
1212
1515
1717
2020
2525
Conceptos:transformaciónanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:
Como TT es escaleno, la única isometría que fija TT es la identidad, así que las tres deben componer la identidad
Since TT is scalene, the only isometry fixing TT is the identity, so the three must compose to the identity
Pista grande:
La tercera transformación queda determinada por las dos primeras; se permite exactamente cuando el producto de las dos primeras es de nuevo una de las cinco aplicaciones
The third transformation is forced by the first two; it is allowed exactly when the product of the first two is again one of the five maps
Solución:
Como TT es un triángulo rectángulo escaleno, la única isometría que lleva TT a sí mismo es la identidad, así que una sucesión funciona exactamente cuando las tres transformaciones se componen en la identidad.
Sea rr la rotación de 90∘90^\circ y ss la reflexión respecto del eje xx. Las cinco aplicaciones permitidas son r,r2,r3,s,r2s;r,r^2,r^3,s,r^2s; las aplicaciones no idénticas ausentes son las reflexiones diagonales rs,r3s.rs,r^3s. En una terna ordenada, la tercera aplicación queda determinada por las dos primeras y está permitida exactamente cuando su producto es una de las cinco.
Exactamente 55 pares ordenados tienen producto identidad: cada primera aplicación se empareja con su inversa. Una reflexión diagonal requiere una rotación y una reflexión axial; rr o r3r^3 puede emparejarse a cualquiera de los dos lados con ss o r2s,r^2s, lo que da 2⋅2⋅2=82\cdot2\cdot2=8 pares. Los 25−5−8=1225-5-8=12 pares restantes dan sucesiones válidas.
Así, A es la respuesta correcta.
Because TT is a scalene right triangle, the only isometry carrying TT to itself is the identity, so a sequence works exactly when the three transformations compose to the identity.
Let rr be the 90∘90^\circ rotation and ss reflection across the xx-axis. The five allowed maps are r,r2,r3,s,r2s;r,r^2,r^3,s,r^2s; the missing nonidentity maps are the diagonal reflections rs,r3s.rs,r^3s. In an ordered triple, the third map is forced by the first two and is allowed precisely when their product is one of the five.
Exactly 55 ordered pairs have product identity: each first map is paired with its inverse. A diagonal reflection requires one rotation and one axis reflection; rr or r3r^3 may be paired on either side with ss or r2s,r^2s, giving 2⋅2⋅2=82\cdot2\cdot2=8 pairs. The remaining 25−5−8=1225-5-8=12 ordered pairs give valid sequences.
Thus, A is the correct answer.

21.

¿Cuántos enteros positivos nn hay tales que nn es múltiplo de 5,5, y el mínimo común múltiplo de 5!5! y nn es igual a 55 veces el máximo común divisor de 10!10! y nn?
How many positive integers nn are there such that nn is a multiple of 5,5, and the least common multiple of 5!5! and nn equals 55 times the greatest common divisor of 10!10! and n?n?
1212
2424
3636
4848
7272
Conceptos:mínimo común múltiplomáximo común divisorfactorización en primos
Nivel de dificultad: 2080
Pista pequeña:
5!=23⋅3⋅55! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 y 10!=28⋅34⋅52⋅7;10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7; compara los exponentes de cada primo
5!=23⋅3⋅55! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 and 10!=28⋅34⋅52⋅7;10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7; compare exponents of each prime
Pista grande:
Multiplicar el máximo común divisor por 55 aumenta en uno la potencia de 55; determina el exponente permitido de cada primo en nn
Multiplying the gcd by 55 raises the power of 55 by one; work out the allowed exponent of each prime in nn
Solución:
Escribe n=2a3b5c7d⋯ .n = 2^a 3^b 5^c 7^d \cdots. Como 5!=23⋅3⋅55! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 no tiene otros primos, nn solo puede involucrar 2,3,5,7.2, 3, 5, 7. Igualando exponentes en lcm⁡(5!,n)=5⋅gcd⁡(10!,n):\operatorname{lcm}(5!, n) = 5 \cdot \gcd(10!, n):
Para 2:2: max⁡(3,a)=min⁡(8,a),\max(3, a) = \min(8, a), así que 3≤a≤83 \le a \le 8 da 66 valores. Para 3:3: max⁡(1,b)=min⁡(4,b),\max(1, b) = \min(4, b), así que 1≤b≤41 \le b \le 4 da 44 valores.
Para 5:5: max⁡(1,c)=1+min⁡(2,c)\max(1, c) = 1 + \min(2, c) con c≥1,c \ge 1, lo que fuerza c=3,c = 3, dando 11 valor. Para 7:7: max⁡(0,d)=min⁡(1,d),\max(0, d) = \min(1, d), así que d=0d = 0 o 1,1, dando 22 valores.
El total es 6⋅4⋅1⋅2=48.6 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 = 48.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Write n=2a3b5c7d⋯ .n = 2^a 3^b 5^c 7^d \cdots. Since 5!=23⋅3⋅55! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 has no other primes, nn can only involve 2,3,5,7.2, 3, 5, 7. Matching exponents in lcm⁡(5!,n)=5⋅gcd⁡(10!,n):\operatorname{lcm}(5!, n) = 5 \cdot \gcd(10!, n):
For 2:2: max⁡(3,a)=min⁡(8,a),\max(3, a) = \min(8, a), so 3≤a≤83 \le a \le 8 gives 66 values. For 3:3: max⁡(1,b)=min⁡(4,b),\max(1, b) = \min(4, b), so 1≤b≤41 \le b \le 4 gives 44 values.
For 5:5: max⁡(1,c)=1+min⁡(2,c)\max(1, c) = 1 + \min(2, c) with c≥1,c \ge 1, which forces c=3,c = 3, giving 11 value. For 7:7: max⁡(0,d)=min⁡(1,d),\max(0, d) = \min(1, d), so d=0d = 0 or 1,1, giving 22 values.
The total is 6⋅4⋅1⋅2=48.6 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 = 48.
Thus, D is the correct answer.

22.

Sean (an)(a_n) y (bn)(b_n) las sucesiones de números reales tales que (2+i)n=an+bni(2 + i)^n = a_n + b_n i para todos los enteros n≥0,n \ge 0, donde i=−1.i = \sqrt{-1}. ¿Cuánto vale ∑n=0∞anbn7n?\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n b_n}{7^n}?
Let (an)(a_n) and (bn)(b_n) be the sequences of real numbers such that (2+i)n=an+bni(2 + i)^n = a_n + b_n i for all integers n≥0,n \ge 0, where i=−1.i = \sqrt{-1}. What is ∑n=0∞anbn7n?\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n b_n}{7^n}?
38\dfrac{3}{8}
716\dfrac{7}{16}
12\dfrac{1}{2}
916\dfrac{9}{16}
47\dfrac{4}{7}
Conceptos:número complejosumatoria
Nivel de dificultad: 2110
Pista pequeña:
Nota que anbna_n b_n =12Im⁡((an+bni)2)= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((a_n + b_n i)^2\big) =12Im⁡((2+i)2n)= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((2 + i)^{2n}\big)
anbna_n b_n =12Im⁡((an+bni)2)= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((a_n + b_n i)^2\big) =12Im⁡((2+i)2n)= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((2 + i)^{2n}\big)
Pista grande:
Como (2+i)2=3+4i,(2 + i)^2 = 3 + 4i, la suma se convierte en una serie geométrica de razón 3+4i7\dfrac{3 + 4i}{7}
Since (2+i)2=3+4i,(2 + i)^2 = 3 + 4i, the sum becomes a geometric series with ratio 3+4i7\dfrac{3 + 4i}{7}
Solución:
Como (an+bni)2=an2−bn2+2anbni,(a_n + b_n i)^2 = a_n^2 - b_n^2 + 2 a_n b_n i, tenemos anbna_n b_n =12Im⁡((2+i)2n)= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((2 + i)^{2n}\big) =12Im⁡((3+4i)n).= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((3 + 4i)^n\big).
Por lo tanto la suma es 12Im⁡∑n=0∞(3+4i7)n\tfrac12 \operatorname{Im} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{3 + 4i}{7}\right)^n =12Im⁡ ⁣(11−3+4i7).= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{1 - \frac{3 + 4i}{7}}\right).
Esto es igual a 12Im⁡ ⁣(74−4i)\tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7}{4 - 4i}\right) =12Im⁡ ⁣(7(4+4i)32)= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7(4 + 4i)}{32}\right) =12⋅2832= \tfrac12 \cdot \dfrac{28}{32} =716.= \dfrac{7}{16}.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Since (an+bni)2=an2−bn2+2anbni,(a_n + b_n i)^2 = a_n^2 - b_n^2 + 2 a_n b_n i, we have anbna_n b_n =12Im⁡((2+i)2n)= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((2 + i)^{2n}\big) =12Im⁡((3+4i)n).= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((3 + 4i)^n\big).
Therefore the sum is 12Im⁡∑n=0∞(3+4i7)n\tfrac12 \operatorname{Im} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{3 + 4i}{7}\right)^n =12Im⁡ ⁣(11−3+4i7).= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{1 - \frac{3 + 4i}{7}}\right).
This equals 12Im⁡ ⁣(74−4i)\tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7}{4 - 4i}\right) =12Im⁡ ⁣(7(4+4i)32)= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7(4 + 4i)}{32}\right) =12⋅2832= \tfrac12 \cdot \dfrac{28}{32} =716.= \dfrac{7}{16}.
Thus, B is the correct answer.

23.

Jason lanza tres dados justos estándar de seis caras. Luego mira los resultados y elige un subconjunto de los dados (posiblemente vacío, posiblemente los tres dados) para relanzar. Después de relanzar, gana si y solo si la suma de los números que quedan hacia arriba en los tres dados es exactamente 7.7. Jason siempre juega para optimizar sus posibilidades de ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que elija relanzar exactamente dos de los dados?
Jason rolls three fair standard six-sided dice. Then he looks at the rolls and chooses a subset of the dice (possibly empty, possibly all three dice) to reroll. After rerolling, he wins if and only if the sum of the numbers face up on the three dice is exactly 7.7. Jason always plays to optimize his chances of winning. What is the probability that he chooses to reroll exactly two of the dice?
736\dfrac{7}{36}
524\dfrac{5}{24}
29\dfrac{2}{9}
1772\dfrac{17}{72}
14\dfrac{1}{4}
Conceptos:dados (probabilidad)optimizaciónanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:
Compara la probabilidad de ganar al relanzar un dado (conservando dos cuya suma sea a lo sumo 66) con la de relanzar dos (conservando un dado pequeño)
Compare the win chance from rerolling one die (keep two summing to at most 66) with rerolling two (keep one small die)
Pista grande:
Relanzar exactamente dos es lo mejor cuando ningún par de dados suma 66 o menos, pero el dado más pequeño es lo bastante pequeño como para superar el relanzar los tres
Rerolling exactly two is best when no two dice sum to 66 or less, yet the smallest die is small enough to beat rerolling all three
Solución:
Al volver a lanzar un dado y conservar dos que suman s,s, se gana con probabilidad 16\tfrac16 cuando s≤6s \le 6 y con 00 en caso contrario. Al volver a lanzar dos dados y conservar uno de valor v,v, la probabilidad de ganar es la cantidad de maneras en que dos dados suman 7−v,7 - v, dividida entre 36;36; esta es mayor cuando vv es menor. Para v=1,2,3,v=1,2,3, las probabilidades son 536,436,336,\tfrac5{36},\tfrac4{36},\tfrac3{36}, todas mayores que la probabilidad de relanzar los tres, 15216=572;\tfrac{15}{216}=\tfrac{5}{72}; para v≥4,v\ge4, es mejor relanzarlos todos.
Relanzar exactamente dos dados es estrictamente óptimo precisamente cuando los dos dados menores suman al menos 77 (de modo que relanzar uno no puede llegar a 77) y el dado menor es 1,2,1, 2, o 33 (de modo que conservarlo supera a relanzar los tres).
Ordenemos el resultado como u≤v≤w.u\le v\le w. Si u=1,u=1, la única posibilidad es (1,6,6),(1,6,6), con 33 ordenaciones. Si u=2,u=2, las posibilidades (2,5,5),(2,5,6),(2,6,6)(2,5,5),(2,5,6),(2,6,6) tienen 3+6+3=123+6+3=12 ordenaciones. Si u=3,u=3, elegimos v,wv,w con repetición de {4,5,6};\{4,5,6\}; las seis ternas resultantes tienen 3+6+6+3+6+3=273+6+6+3+6+3=27 ordenaciones. Por tanto, hay 3+12+27=423+12+27=42 resultados ordenados válidos de 216,216, con probabilidad 42216=736.\dfrac{42}{216} = \dfrac{7}{36}.
Así, A es la respuesta correcta.
Rerolling one die, keeping two dice that sum to s,s, wins with probability 16\tfrac16 when s≤6s \le 6 and 00 otherwise. Rerolling two dice, keeping a die of value v,v, wins with probability equal to the number of ways two dice sum to 7−v,7 - v, over 36;36; this is largest when vv is smallest. For v=1,2,3,v=1,2,3, these probabilities are 536,436,336,\tfrac5{36},\tfrac4{36},\tfrac3{36}, all greater than the reroll-all probability 15216=572;\tfrac{15}{216}=\tfrac{5}{72}; for v≥4,v\ge4, rerolling all is better.
Rerolling exactly two dice is strictly best precisely when the two smallest dice sum to at least 77 (so rerolling one cannot reach 77) while the smallest die is 1,2,1, 2, or 33 (so keeping it beats rerolling all three).
Sort the roll as u≤v≤w.u\le v\le w. If u=1,u=1, the only possibility is (1,6,6),(1,6,6), with 33 orderings. If u=2,u=2, the possibilities (2,5,5),(2,5,6),(2,6,6)(2,5,5),(2,5,6),(2,6,6) have 3+6+3=123+6+3=12 orderings. If u=3,u=3, choose v,wv,w with repetition from {4,5,6};\{4,5,6\}; the six resulting triples have 3+6+6+3+6+3=273+6+6+3+6+3=27 orderings. Thus there are 3+12+27=423+12+27=42 qualifying ordered rolls out of 216,216, a probability of 42216=736.\dfrac{42}{216} = \dfrac{7}{36}.
Thus, A is the correct answer.

24.

Supón que △ABC\triangle ABC es un triángulo equilátero de lado s,s, con la propiedad de que existe un único punto PP dentro del triángulo tal que AP=1,AP = 1, BP=3,BP = \sqrt{3}, y CP=2.CP = 2. ¿Cuánto vale ss?
Suppose that △ABC\triangle ABC is an equilateral triangle of side length s,s, with the property that there is a unique point PP inside the triangle such that AP=1,AP = 1, BP=3,BP = \sqrt{3}, and CP=2.CP = 2. What is s?s?
1+21 + \sqrt{2}
7\sqrt{7}
83\dfrac{8}{3}
5+5\sqrt{5 + \sqrt{5}}
222\sqrt{2}
Conceptos:triángulo equiláterocuadrática
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:
Para un punto a distancias p,q,rp, q, r de los vértices de un triángulo equilátero de lado s,s, los cuatro valores satisfacen 3(p4+q4+r4+s4)3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4) =(p2+q2+r2+s2)2= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2
For a point at distances p,q,rp, q, r from the vertices of an equilateral triangle of side s,s, the four values satisfy 3(p4+q4+r4+s4)3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4) =(p2+q2+r2+s2)2= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2
Pista grande:
Sustituye p2=1,p^2 = 1, q2=3,q^2 = 3, r2=4r^2 = 4 y resuelve la ecuación cuadrática resultante en s2s^2
Substitute p2=1,p^2 = 1, q2=3,q^2 = 3, r2=4r^2 = 4 and solve the resulting quadratic in s2s^2
Solución:
Un punto a distancias p,q,rp, q, r de los vértices de un triángulo equilátero de lado ss satisface 3(p4+q4+r4+s4)3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4) =(p2+q2+r2+s2)2.= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2.
Con p2=1,p^2 = 1, q2=3,q^2 = 3, r2=4,r^2 = 4, tomando S=s2S = s^2 se obtiene 3(26+S2)=(8+S)2,3(26 + S^2) = (8 + S)^2, así que S2−8S+7=0S^2 - 8S + 7 = 0 y S=1S = 1 o S=7.S = 7.
Un triángulo de lado 11 no puede contener un punto a distancia 22 de un vértice, así que S=7S = 7 y s=7.s = \sqrt{7}.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
A point at distances p,q,rp, q, r from the vertices of an equilateral triangle of side ss satisfies 3(p4+q4+r4+s4)3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4) =(p2+q2+r2+s2)2.= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2.
With p2=1,p^2 = 1, q2=3,q^2 = 3, r2=4,r^2 = 4, letting S=s2S = s^2 gives 3(26+S2)=(8+S)2,3(26 + S^2) = (8 + S)^2, so S2−8S+7=0S^2 - 8S + 7 = 0 and S=1S = 1 or S=7.S = 7.
A triangle of side 11 cannot contain a point at distance 22 from a vertex, so S=7S = 7 and s=7.s = \sqrt{7}.
Thus, B is the correct answer.

25.

El número a=pq,a = \dfrac{p}{q}, donde pp y qq son enteros positivos primos entre sí, tiene la propiedad de que la suma de todos los números reales xx que satisfacen ⌊x⌋⋅{x}=a⋅x2\lfloor x \rfloor \cdot \{x\} = a \cdot x^2 es 420,420, donde ⌊x⌋\lfloor x \rfloor denota el mayor entero menor o igual que xx y {x}=x−⌊x⌋\{x\} = x - \lfloor x \rfloor denota la parte fraccionaria de x.x. ¿Cuánto vale p+qp + q?
The number a=pq,a = \dfrac{p}{q}, where pp and qq are relatively prime positive integers, has the property that the sum of all real numbers xx satisfying ⌊x⌋⋅{x}=a⋅x2\lfloor x \rfloor \cdot \{x\} = a \cdot x^2 is 420,420, where ⌊x⌋\lfloor x \rfloor denotes the greatest integer less than or equal to xx and {x}=x−⌊x⌋\{x\} = x - \lfloor x \rfloor denotes the fractional part of x.x. What is p+q?p + q?
245245
593593
929929
13311331
13321332
Conceptos:funciones piso y techocuadráticasumatoria
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:
En x∈[n,n+1)x \in [n, n+1) escribe ⌊x⌋=n\lfloor x \rfloor = n y {x}=x−n,\{x\} = x - n, convirtiendo la ecuación en una cuadrática ax2−nx+n2=0a x^2 - n x + n^2 = 0.
On x∈[n,n+1)x \in [n, n+1) write ⌊x⌋=n\lfloor x \rfloor = n and {x}=x−n,\{x\} = x - n, turning the equation into a quadratic ax2−nx+n2=0a x^2 - n x + n^2 = 0
Pista grande:
Parametriza las dos raíces, tras dividir entre nn, como 1+1u1+\dfrac1u y 1+u;1+u; determina qué enteros positivos nn hacen que una raíz caiga en [n,n+1)[n,n+1)
Parameterize the two roots after dividing by nn as 1+1u1+\dfrac1u and 1+u;1+u; determine which positive integers nn put a root in [n,n+1)[n,n+1)
Solución:
No hay soluciones negativas, mientras que x=0x=0 siempre es solución. Para n≥1n\ge1 y x∈[n,n+1),x\in[n,n+1), sea y=xn.y=\frac{x}{n}. La ecuación se convierte en ay2−y+1=0.ay^2-y+1=0. Sus raíces deben ser reales, así que 0<a≤14.0\lt a\le\tfrac14.
Si las dos raíces son α≤β,\alpha\le\beta, su suma y producto son ambos 1a,\frac{1}{a}, de modo que (α−1)(β−1)=1.(\alpha-1)(\beta-1)=1. Escribamos α=1+1u,β=1+u \alpha=1+\dfrac1u,\qquad \beta=1+u con u≥1.u\ge1. Entonces a=u(u+1)2.a=\dfrac{u}{(u+1)^2}. La raíz x=nαx=n\alpha está en [n,n+1)[n,n+1) exactamente cuando n<u,n\lt u, mientras que nβn\beta nunca está allí para un entero positivo n.n.
El total positivo requerido asegura que u>1.u\gt1. Sea NN el mayor entero positivo menor que u,u, de modo que N<u≤N+1.N\lt u\le N+1. La suma de todas las soluciones es entonces u+1u⋅N(N+1)2=420. \dfrac{u+1}{u}\cdot\dfrac{N(N+1)}2=420. Como u+1u\dfrac{u+1}{u} decrece con u,u, estas desigualdades implican N(N+2)2≤420<(N+1)22, \dfrac{N(N+2)}2\le420\lt\dfrac{(N+1)^2}{2}, lo que obliga a N=28.N=28.
Al sustituir, 406⋅u+1u=420,406\cdot\dfrac{u+1}{u}=420, así que u=29.u=29. Por tanto, a=29302=29900.a=\dfrac{29}{30^2}=\dfrac{29}{900}. En efecto, las soluciones positivas son x=30n29x=\dfrac{30n}{29} para 1≤n≤28,1\le n\le28, y suman 420.420. Entonces p+q=29+900=929.p+q=29+900=929.
Así, C es la respuesta correcta.
There are no negative solutions, while x=0x=0 is always a solution. For n≥1n\ge1 and x∈[n,n+1),x\in[n,n+1), put y=xn.y=\frac{x}{n}. The equation becomes ay2−y+1=0.ay^2-y+1=0. Its roots must be real, so 0<a≤14.0\lt a\le\tfrac14.
If the two roots are α≤β,\alpha\le\beta, their sum and product are both 1a,\frac{1}{a}, so (α−1)(β−1)=1.(\alpha-1)(\beta-1)=1. Write α=1+1u,β=1+u \alpha=1+\dfrac1u,\qquad \beta=1+u with u≥1.u\ge1. Then a=u(u+1)2.a=\dfrac{u}{(u+1)^2}. The root x=nαx=n\alpha lies in [n,n+1)[n,n+1) exactly when n<u,n\lt u, while nβn\beta never lies there for a positive integer n.n.
The required positive total ensures u>1.u\gt1. Let NN be the largest positive integer less than u,u, so N<u≤N+1.N\lt u\le N+1. The sum of all solutions is therefore u+1u⋅N(N+1)2=420. \dfrac{u+1}{u}\cdot\dfrac{N(N+1)}2=420. Because u+1u\dfrac{u+1}{u} decreases with u,u, these inequalities imply N(N+2)2≤420<(N+1)22, \dfrac{N(N+2)}2\le420\lt\dfrac{(N+1)^2}{2}, which forces N=28.N=28.
Substitution gives 406⋅u+1u=420,406\cdot\dfrac{u+1}{u}=420, so u=29.u=29. Hence a=29302=29900.a=\dfrac{29}{30^2}=\dfrac{29}{900}. Indeed the positive solutions are x=30n29x=\dfrac{30n}{29} for 1≤n≤28,1\le n\le28, and their sum is 420.420. Therefore p+q=29+900=929.p+q=29+900=929.
Thus, C is the correct answer.