Soluciones del 2020 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Carlos tomó el $70\%$ de un pastel entero. Maria tomó un tercio de lo que sobró. ¿Qué fracción del pastel entero quedó?

Carlos took $70\%$ of a whole pie. Maria took one third of the remainder. What portion of the whole pie was left?

$10\%$

$15\%$

$20\%$

$30\%$

$35\%$

Conceptos:porcentaje fracción

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Después de que Carlos toma su parte, queda el $30\%$ del pastel.

After Carlos takes his share, $30\%$ of the pie remains

Pista grande:

Maria quita $\tfrac13$ de ese $30\%$ , así que queda $\tfrac23$ de lo restante

Maria removes $\tfrac13$ of that $30\%$ , so $\tfrac23$ of the remainder is left

Solución:

Después de que Carlos toma $70\%,$ la porción restante es $30\%.$

Maria toma un tercio de esto, es decir $\tfrac13 \cdot 30\% = 10\%,$ dejando $30\% - 10\% = 20\%.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

After Carlos takes $70\%,$ the remaining portion is $30\%.$

Maria takes one third of this, namely $\tfrac13 \cdot 30\% = 10\%,$ leaving $30\% - 10\% = 20\%.$

Thus, C is the correct answer.

2.

El acrónimo AMC se muestra en la cuadrícula rectangular de abajo, con las líneas de la cuadrícula separadas $1$ unidad. En unidades, ¿cuál es la suma de las longitudes de los segmentos que forman el acrónimo AMC?

The acronym AMC is shown in the rectangular grid below with grid lines spaced $1$ unit apart. In units, what is the sum of the lengths of the line segments that form the acronym AMC?

$17$

$15 + 2\sqrt{2}$

$13 + 4\sqrt{2}$

$11 + 6\sqrt{2}$

$21$

Conceptos:Teorema de Pitágoras fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Un segmento que abarca una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba tiene longitud $\sqrt{2}$

A segment spanning one unit right and one unit up has length $\sqrt{2}$

Pista grande:

Suma por separado las piezas horizontales y verticales, y aparte las piezas diagonales

Total the horizontal and vertical pieces separately from the diagonal pieces

Solución:

Divide cada letra en sus segmentos. La $A$ es una diagonal de longitud $2\sqrt{2},$ una vertical de longitud $2,$ y una barra transversal de longitud $1.$

La $M$ tiene dos verticales de longitud $2$ y dos diagonales de longitud $\sqrt{2}$ cada una. La $C$ son tres lados de longitud $2.$

Las piezas rectas suman $2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 13,$ y las piezas diagonales suman $2\sqrt2 + \sqrt2 + \sqrt2 = 4\sqrt2.$

La suma es $13 + 4\sqrt2.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Split each letter into its segments. The $A$ is a diagonal of length $2\sqrt{2},$ a vertical of length $2,$ and a crossbar of length $1.$

The $M$ has two verticals of length $2$ and two diagonals of length $\sqrt{2}$ each. The $C$ is three sides of length $2.$

The straight pieces total $2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 13,$ and the diagonal pieces total $2\sqrt2 + \sqrt2 + \sqrt2 = 4\sqrt2.$

The sum is $13 + 4\sqrt2.$

Thus, C is the correct answer.

3.

Una conductora viaja durante $2$ horas a $60$ millas por hora, y durante ese tiempo su auto rinde $30$ millas por galón de gasolina. Le pagan $\$0.50$ por milla, y su único gasto es la gasolina a $\$2.00$ por galón. ¿Cuál es su tasa neta de pago, en dólares por hora, después de este gasto?

A driver travels for $2$ hours at $60$ miles per hour, during which her car gets $30$ miles per gallon of gasoline. She is paid $\$0.50$ per mile, and her only expense is gasoline at $\$2.00$ per gallon. What is her net rate of pay, in dollars per hour, after this expense?

$20$

$22$

$24$

$25$

$26$

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

En $2$ horas recorre $120$ millas; halla su pago y su costo de gasolina para esa distancia

In $2$ hours she drives $120$ miles; find her pay and her gasoline cost for that distance

Pista grande:

Divide las ganancias netas entre las $2$ horas para obtener la tasa por hora

Divide the net earnings by the $2$ hours to get the rate per hour

Solución:

En $2$ horas recorre $120$ millas, ganando $120 \cdot \$0.50 = \$60.$

Usa $120 \div 30 = 4$ galones, con un costo de $4 \cdot \$2.00 = \$8.$

Sus ganancias netas son $\$60 - \$8 = \$52,$ así que su tasa es $\$52 \div 2 = \$26$ por hora.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

In $2$ hours she drives $120$ miles, earning $120 \cdot \$0.50 = \$60.$

She uses $120 \div 30 = 4$ gallons, costing $4 \cdot \$2.00 = \$8.$

Her net earnings are $\$60 - \$8 = \$52,$ so her rate is $\$52 \div 2 = \$26$ per hour.

Thus, E is the correct answer.

4.

¿Cuántos enteros positivos de $4$ dígitos (es decir, enteros entre $1000$ y $9999,$ inclusive) que solo tienen dígitos pares son divisibles entre $5$ ?

How many $4$ -digit positive integers (that is, integers between $1000$ and $9999,$ inclusive) having only even digits are divisible by $5?$

$80$

$100$

$125$

$200$

$500$

Conceptos:principio de multiplicación divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Un número divisible entre $5$ termina en $0$ o $5,$ pero el último dígito también debe ser par

A number divisible by $5$ ends in $0$ or $5,$ but the last digit must also be even

Pista grande:

Cuenta las opciones para cada dígito: el dígito inicial no puede ser $0$ .

Count the choices for each digit: the leading digit cannot be $0$

Solución:

Para ser divisible entre $5$ el último dígito es $0$ o $5,$ y para ser par debe ser $0.$ Así que el dígito de las unidades queda fijo.

El dígito inicial es un dígito par no nulo: $2, 4, 6, 8$ dan $4$ opciones. Cada uno de los dos dígitos centrales es cualquier dígito par $0, 2, 4, 6, 8,$ dando $5$ opciones cada uno.

El total es $4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 1 = 100.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

To be divisible by $5$ the last digit is $0$ or $5,$ and to be even it must be $0.$ So the units digit is fixed.

The leading digit is a nonzero even digit: $2, 4, 6, 8$ give $4$ choices. Each of the two middle digits is any even digit $0, 2, 4, 6, 8,$ giving $5$ choices each.

The total is $4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 1 = 100.$

Thus, B is the correct answer.

5.

Los $25$ enteros desde $-10$ hasta $14,$ inclusive, se pueden ordenar formando un cuadrado de $5$ por $5$ en el que la suma de los números en cada fila, la suma de los números en cada columna, y la suma de los números en cada una de las diagonales principales sean todas iguales. ¿Cuál es el valor de esta suma común?

The $25$ integers from $-10$ to $14,$ inclusive, can be arranged to form a $5$ -by- $5$ square in which the sum of the numbers in each row, the sum of the numbers in each column, and the sum of the numbers along each of the main diagonals are all the same. What is the value of this common sum?

$2$

$5$

$10$

$25$

$50$

Conceptos:cuadrado mágico sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

El total de los $25$ números se reparte por igual entre las $5$ filas

The total of all $25$ numbers is split equally among the $5$ rows

Pista grande:

Suma la serie aritmética desde $-10$ hasta $14,$ luego divide entre $5$ .

Sum the arithmetic series from $-10$ to $14,$ then divide by $5$

Solución:

La suma de los $25$ enteros es $\dfrac{(-10 + 14) \cdot 25}{2} = 50.$

Las cinco filas tienen la misma suma y juntas dan el total, así que cada fila suma $50 \div 5 = 10.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The sum of the $25$ integers is $\dfrac{(-10 + 14) \cdot 25}{2} = 50.$

The five rows each have the same sum and together account for the total, so each row sums to $50 \div 5 = 10.$

Thus, C is the correct answer.

6.

En la figura plana que se muestra abajo, $3$ de los cuadrados unitarios han sido sombreados. ¿Cuál es el menor número de cuadrados unitarios adicionales que deben sombrearse para que la figura resultante tenga dos ejes de simetría?

In the plane figure shown below, $3$ of the unit squares have been shaded. What is the least number of additional unit squares that must be shaded so that the resulting figure has two lines of symmetry?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:simetría

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Los dos ejes de simetría deben ser la línea vertical central y la línea horizontal central del rectángulo

The two symmetry lines must be the central vertical and central horizontal lines of the rectangle

Pista grande:

Cada cuadrado sombreado obliga a que también se sombreen sus reflexiones respecto a ambos ejes

Each shaded square forces its reflections across both lines to be shaded too

Solución:

Para ambas simetrías, los ejes deben ser las líneas centrales vertical y horizontal de la cuadrícula de $5$ por $4$ . Cada cuadrado sombreado obliga entonces a sombrear los cuadrados que se obtienen al reflejarlo respecto a cada eje.

El cuadrado superior está fuera del centro, así que su grupo de reflexión tiene $4$ cuadrados, y requiere $3$ más. El cuadrado del medio está sobre la columna central, así que su grupo tiene $2$ cuadrados, y requiere $1$ más. El cuadrado inferior derecho tiene de nuevo un grupo de $4,$ y requiere $3$ más.

El menor número de cuadrados adicionales es $3 + 1 + 3 = 7.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

For both symmetries, the lines must be the vertical and horizontal center lines of the $5$ -by- $4$ grid. Every shaded square then forces the squares obtained by reflecting it across each line.

The top square lies off-center, so its reflection group has $4$ squares, requiring $3$ more. The middle square sits on the central column, so its group has $2$ squares, requiring $1$ more. The bottom-right square again has a group of $4,$ requiring $3$ more.

The least number of additional squares is $3 + 1 + 3 = 7.$

Thus, D is the correct answer.

7.

Siete cubos, cuyos volúmenes son $1,$ $8,$ $27,$ $64,$ $125,$ $216,$ y $343$ unidades cúbicas, se apilan verticalmente formando una torre en la que los volúmenes de los cubos decrecen de abajo hacia arriba. Salvo el cubo de abajo, la cara inferior de cada cubo descansa completamente sobre la cara superior del cubo que tiene debajo. ¿Cuál es el área superficial total de la torre (incluyendo la base) en unidades cuadradas?

Seven cubes, whose volumes are $1,$ $8,$ $27,$ $64,$ $125,$ $216,$ and $343$ cubic units, are stacked vertically to form a tower in which the volumes of the cubes decrease from bottom to top. Except for the bottom cube, the bottom face of each cube lies completely on top of the cube below it. What is the total surface area of the tower (including the bottom) in square units?

$644$

$658$

$664$

$720$

$749$

Conceptos:área de superficie suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Los cubos tienen longitudes de lado $1, 2, \ldots, 7;$ trata por separado las cuatro caras verticales y las caras horizontales

The cubes have side lengths $1, 2, \ldots, 7;$ handle the four vertical faces and the horizontal faces separately

Pista grande:

Mirando directamente hacia abajo, toda el área horizontal orientada hacia arriba es igual a la base de $7 \times 7;$ lo mismo ocurre mirando hacia arriba

Looking straight down, all upward-facing horizontal area equals the base’s $7 \times 7;$ the same holds looking up

Solución:

Las longitudes de lado son $1, 2, \ldots, 7.$ Las cuatro caras laterales del cubo $k$ aportan $4k^2,$ así que las caras verticales suman $4(1^2 + 2^2 + \cdots + 7^2)$ $= 4 \cdot 140 = 560.$

Visto directamente desde arriba, cada parche horizontal orientado hacia arriba se proyecta sobre la base de $7 \times 7$ sin solaparse, dando $49.$ Visto desde abajo, sucede lo mismo, dando otros $49.$

El área superficial total es $560 + 49 + 49 = 658.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The side lengths are $1, 2, \ldots, 7.$ The four side faces of cube $k$ contribute $4k^2,$ so the vertical faces total $4(1^2 + 2^2 + \cdots + 7^2)$ $= 4 \cdot 140 = 560.$

Viewed from directly above, every upward-facing horizontal patch projects onto the $7 \times 7$ base without overlap, giving $49.$ Viewed from below, the same is true, giving another $49.$

The total surface area is $560 + 49 + 49 = 658.$

Thus, B is the correct answer.

8.

¿Cuál es la mediana de la siguiente lista de $4040$ números?

$1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $2020,$ $1^2,$ $2^2,$ $3^2,$ $\ldots,$ $2020^2$

What is the median of the following list of $4040$ numbers?

$1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $2020,$ $1^2,$ $2^2,$ $3^2,$ $\ldots,$ $2020^2$

$1974.5$

$1975.5$

$1976.5$

$1977.5$

$1978.5$

Conceptos:mediana (datos)cuadrado perfecto conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Con $4040$ números la mediana promedia el $2020$ -ésimo y el $2021$ -ésimo más pequeños

With $4040$ numbers the median averages the $2020$ th and $2021$ st smallest

Pista grande:

Los cuadrados hasta $2020$ provienen de $1^2$ hasta $44^2;$ cuenta cuántas entradas de la lista son a lo sumo un entero dado

Squares up to $2020$ come from $1^2$ through $44^2;$ count how many list entries are at most a given integer

Solución:

La mediana es el promedio del $2020$ -ésimo y del $2021$ -ésimo valores más pequeños.

Los cuadrados perfectos que son a lo sumo $2020$ son $1^2, \ldots, 44^2$ (ya que $44^2 = 1936$ y $45^2 = 2025$ ), así que hay $44$ de ellos.

En la lista, los números $\le 1976$ son los $1976$ enteros $1, \ldots, 1976$ junto con esos $44$ cuadrados, sumando $1976 + 44 = 2020.$

Así el $2020$ -ésimo valor es $1976$ y el $2021$ -ésimo valor es $1977,$ haciendo que la mediana sea $\dfrac{1976 + 1977}{2} = 1976.5.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The median is the average of the $2020$ th and $2021$ st smallest values.

The perfect squares that are at most $2020$ are $1^2, \ldots, 44^2$ (since $44^2 = 1936$ and $45^2 = 2025$ ), so there are $44$ of them.

Among the list, the numbers $\le 1976$ are the $1976$ integers $1, \ldots, 1976$ together with those $44$ squares, totaling $1976 + 44 = 2020.$

Thus the $2020$ th value is $1976$ and the $2021$ st value is $1977,$ making the median $\dfrac{1976 + 1977}{2} = 1976.5.$

Thus, C is the correct answer.

9.

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ en el intervalo $[0, 2\pi]$ ?

How many solutions does the equation $\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ have on the interval $[0, 2\pi]?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:trigonometría

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

En $[0, 2\pi],$ $\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)$ decrece de manera constante desde $1$ hasta $-1$ .

On $[0, 2\pi],$ $\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)$ decreases steadily from $1$ to $-1$

Pista grande:

$\tan(2x)$ tiene período $\tfrac{\pi}{2};$ cuenta cuántas de sus ramas cruzan esa curva decreciente

$\tan(2x)$ has period $\tfrac{\pi}{2};$ count how many of its branches cross that decreasing curve

Solución:

En $[0, 2\pi],$ la gráfica de $\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)$ es un solo arco que decrece de $1$ a $-1.$

La función $\tan(2x)$ tiene período $\tfrac{\pi}{2}$ y asíntotas verticales en $x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}.$ Estas dividen el intervalo en cinco ramas. En cada rama, $\tan(2x)$ es estrictamente creciente, mientras que $\cos(\tfrac{x}{2})$ es decreciente, así que hay a lo sumo una intersección por rama.

Cada una de las tres ramas interiores va de $-\infty$ a $+\infty,$ así que tiene una intersección. En la primera rama, $\tan(0)=0\lt1=\cos(0)$ y la tangente tiende a $+\infty.$ En la última, la tangente comienza en $-\infty$ y termina en $0\gt-1=\cos\pi.$ Por tanto, las dos ramas exteriores también tienen una intersección cada una, para un total de $5$ .

Así, E es la respuesta correcta.

On $[0, 2\pi],$ the graph of $\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)$ is a single arc decreasing from $1$ down to $-1.$

The function $\tan(2x)$ has period $\tfrac{\pi}{2}$ with vertical asymptotes at $x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}.$ These split the interval into five branches. On every branch $\tan(2x)$ is strictly increasing, while $\cos(\tfrac{x}{2})$ is decreasing, so there is at most one intersection per branch.

Each of the three interior branches runs from $-\infty$ to $+\infty,$ so each has one intersection. On the first branch, $\tan(0)=0\lt1=\cos(0)$ and the tangent tends to $+\infty.$ On the last, the tangent starts at $-\infty$ and ends at $0\gt-1=\cos\pi.$ Thus the two outer branches also have one intersection each, for $5$ total.

Thus, E is the correct answer.

10.

Existe un único entero positivo $n$ tal que $\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).$

¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

There is a unique positive integer $n$ such that $\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).$

What is the sum of the digits of $n?$

$4$

$7$

$8$

$11$

$13$

Conceptos:logaritmo sustitución

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

$\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,$ así que sea $y = \log_4 n$ .

$\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,$ so let $y = \log_4 n$

Pista grande:

La ecuación se convierte en $\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \tfrac12 \log_2 y;$ eleva al cuadrado para despejar $y$ .

The equation becomes $\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \tfrac12 \log_2 y;$ square to solve for $y$

Solución:

Como $\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,$ sea $y = \log_4 n.$ La ecuación se convierte en $\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \log_4 y = \tfrac12 \log_2 y.$

Multiplicando por $2$ se obtiene $\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = \log_2 y,$ así que $\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = y,$ lo que da $y = 4.$

Entonces $\log_4 n = 4,$ así que $n = 4^4 = 256,$ y la suma de los dígitos es $2 + 5 + 6 = 13.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Since $\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,$ set $y = \log_4 n.$ The equation becomes $\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \log_4 y = \tfrac12 \log_2 y.$

Multiplying by $2$ gives $\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = \log_2 y,$ so $\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = y,$ which yields $y = 4.$

Then $\log_4 n = 4,$ so $n = 4^4 = 256,$ and the digit sum is $2 + 5 + 6 = 13.$

Thus, E is the correct answer.

11.

Una rana sentada en el punto $(1, 2)$ comienza una sucesión de saltos, donde cada salto es paralelo a uno de los ejes coordenados y tiene longitud $1,$ y la dirección de cada salto (arriba, abajo, derecha o izquierda) se elige de forma independiente al azar. La sucesión termina cuando la rana alcanza un lado del cuadrado con vértices $(0, 0),$ $(0, 4),$ $(4, 4),$ y $(4, 0).$ ¿Cuál es la probabilidad de que la sucesión de saltos termine en un lado vertical del cuadrado?

A frog sitting at the point $(1, 2)$ begins a sequence of jumps, where each jump is parallel to one of the coordinate axes and has length $1,$ and the direction of each jump (up, down, right, or left) is chosen independently at random. The sequence ends when the frog reaches a side of the square with vertices $(0, 0),$ $(0, 4),$ $(4, 4),$ and $(4, 0).$ What is the probability that the sequence of jumps ends on a vertical side of the square?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{7}{8}$

Conceptos:camino aleatorio sistema de ecuaciones simetría

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sea $P(x, y)$ la probabilidad de terminar en un lado vertical; es igual al promedio de $P$ en los cuatro vecinos

Let $P(x, y)$ be the probability of ending on a vertical side; it equals the average of $P$ at the four neighbors

Pista grande:

Usa la simetría: $P(2, 2) = \tfrac12,$ y los puntos interiores se reducen a un pequeño sistema de ecuaciones

Use symmetry: $P(2, 2) = \tfrac12,$ and the interior points reduce to a small system of equations

Solución:

Sea $P(x, y)$ la probabilidad de terminar en un lado vertical. En un lado vertical $P = 1,$ en un lado horizontal $P = 0,$ y en un punto interior $P$ es el promedio de sus cuatro vecinos.

Por simetría izquierda-derecha $P(2, 2) = \tfrac12.$ Sea $a = P(1, 2),$ $b = P(1, 1) = P(1, 3),$ y $c = P(2, 1) = P(2, 3).$ Entonces

$a = \tfrac14\left(1 + \tfrac12 + 2b\right),$ $\;b = \tfrac14(1 + c + a),$ y $c = \tfrac14\left(2b + \tfrac12\right).$

Sustituyendo se obtiene $b = \tfrac12,$ de donde $a = \tfrac38 + \tfrac12 b = \tfrac58.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $P(x, y)$ be the probability of ending on a vertical side. On a vertical side $P = 1,$ on a horizontal side $P = 0,$ and at an interior point $P$ is the average of its four neighbors.

By left-right symmetry $P(2, 2) = \tfrac12.$ Let $a = P(1, 2),$ $b = P(1, 1) = P(1, 3),$ and $c = P(2, 1) = P(2, 3).$ Then

$a = \tfrac14\left(1 + \tfrac12 + 2b\right),$ $\;b = \tfrac14(1 + c + a),$ and $c = \tfrac14\left(2b + \tfrac12\right).$

Substituting gives $b = \tfrac12,$ hence $a = \tfrac38 + \tfrac12 b = \tfrac58.$

Thus, B is the correct answer.

12.

La recta $\ell$ en el plano coordenado tiene la ecuación $3x - 5y + 40 = 0.$ Esta recta se rota $45^\circ$ en sentido antihorario alrededor del punto $(20, 20)$ para obtener la recta $k.$ ¿Cuál es la coordenada $x$ del intercepto en $x$ de la recta $k$ ?

Line $\ell$ in the coordinate plane has the equation $3x - 5y + 40 = 0.$ This line is rotated $45^\circ$ counterclockwise about the point $(20, 20)$ to obtain line $k.$ What is the $x$ -coordinate of the $x$ -intercept of line $k?$

$10$

$15$

$20$

$25$

$30$

Conceptos:pendiente transformación geometría analítica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El punto $(20, 20)$ está sobre $\ell,$ así que también está sobre $k;$ halla la nueva pendiente

The point $(20, 20)$ lies on $\ell,$ so it also lies on $k;$ find the new slope

Pista grande:

Rotar una pendiente $m$ en $45^\circ$ da $\dfrac{m + 1}{1 - m}$ .

Rotating a slope $m$ by $45^\circ$ gives $\dfrac{m + 1}{1 - m}$

Solución:

Nota que $(20, 20)$ satisface $3x - 5y + 40 = 0,$ así que está sobre $\ell$ y permanece sobre $k.$ La pendiente de $\ell$ es $\tfrac{3}{5}.$

Rotar en $45^\circ$ da la pendiente $\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4.$

La recta $k$ es $y - 20 = 4(x - 20).$ Haciendo $y = 0$ se obtiene $-20 = 4(x - 20),$ así que $x - 20 = -5$ y $x = 15.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note $(20, 20)$ satisfies $3x - 5y + 40 = 0,$ so it is on $\ell$ and remains on $k.$ The slope of $\ell$ is $\tfrac{3}{5}.$

Rotating by $45^\circ$ gives slope $\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4.$

Line $k$ is $y - 20 = 4(x - 20).$ Setting $y = 0$ gives $-20 = 4(x - 20),$ so $x - 20 = -5$ and $x = 15.$

Thus, B is the correct answer.

13.

Existen enteros $a,$ $b,$ y $c,$ cada uno mayor que $1,$ tales que para todo $N \gt 1$ se cumple $\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}\text{.}$ ¿Cuánto vale $b$ ?

There are integers $a,$ $b,$ and $c,$ each greater than $1,$ such that $\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}$ for all $N \gt 1.$ What is $b?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:radical exponente

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Escribe el lado izquierdo como $N$ elevado a la potencia $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}$ .

Write the left side as $N$ to the power $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}$

Pista grande:

Iguala ese exponente a $\dfrac{25}{36}$ y despeja una variable anidada a la vez, empezando por $a = 2$

Set that exponent equal to $\dfrac{25}{36}$ and peel off one nested variable at a time starting with $a = 2$

Solución:

El lado izquierdo es $N$ elevado al exponente $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc},$ que debe ser igual a $\dfrac{25}{36}.$

Como $b,c\ge2,$ este exponente es a lo sumo $\dfrac{7}{4a}.$ Si $a\ge3,$ es a lo sumo $\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36},$ así que $a=2.$ La ecuación se convierte en $\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}.$

Al eliminar denominadores, $c(7b-18)=18.$ Sea $d=7b-18,$ de modo que $d$ es un divisor positivo de $18.$ Entre $1,2,3,6,9,18,$ solo $d=3$ hace que $b=\dfrac{d+18}{7}$ sea entero. Por tanto, $b=3$ y $c=6.$

Así, B es la respuesta correcta.

The left side equals $N$ raised to the exponent $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc},$ which must equal $\dfrac{25}{36}.$

Because $b,c\ge2,$ this exponent is at most $\dfrac{7}{4a}.$ If $a\ge3,$ it is at most $\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36},$ so $a=2.$ The equation becomes $\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}.$

Clearing denominators gives $c(7b-18)=18.$ Set $d=7b-18,$ so $d$ is a positive divisor of $18.$ Among $1,2,3,6,9,18,$ only $d=3$ makes $b=\dfrac{d+18}{7}$ an integer. Hence $b=3$ and $c=6.$

Thus, B is the correct answer.

14.

El octágono regular $ABCDEFGH$ tiene área $n.$ Sea $m$ el área del cuadrilátero $ACEG.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{m}{n}$ ?

Regular octagon $ABCDEFGH$ has area $n.$ Let $m$ be the area of quadrilateral $ACEG.$ What is $\dfrac{m}{n}?$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{3\sqrt{2}}{5}$

$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Conceptos:polígono regular razón de áreas

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

$ACEG$ es un cuadrado inscrito en el octágono

$ACEG$ is a square inscribed in the octagon

Pista grande:

Coloca el octágono de forma simétrica y calcula ambas áreas; los cuatro triángulos de las esquinas componen la diferencia

Place the octagon symmetrically and compute both areas; the four corner triangles make up the difference

Solución:

Los cuatro vértices $A, C, E, G$ forman un cuadrado, ya que son un vértice sí y otro no del octágono regular.

Tomando circunradio unitario, el área del octágono es $2\sqrt2$ y el cuadrado $ACEG$ tiene diagonal igual al diámetro del círculo, dando área $2.$

La razón es $\dfrac{2}{2\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The four vertices $A, C, E, G$ form a square, since they are every other vertex of the regular octagon.

Taking a unit circumradius, the octagon’s area is $2\sqrt2$ and the square $ACEG$ has diagonal equal to the circle’s diameter, giving area $2.$

The ratio is $\dfrac{2}{2\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}.$

Thus, B is the correct answer.

15.

En el plano complejo, sea $A$ el conjunto de soluciones de $z^3 - 8 = 0$ y sea $B$ el conjunto de soluciones de $z^3 - 8z^2 - 8z + 64 = 0.$ ¿Cuál es la mayor distancia entre un punto de $A$ y un punto de $B$ ?

In the complex plane, let $A$ be the set of solutions to $z^3 - 8 = 0$ and let $B$ be the set of solutions to $z^3 - 8z^2 - 8z + 64 = 0.$ What is the greatest distance between a point of $A$ and a point of $B?$

$2\sqrt{3}$

$6$

$9$

$2\sqrt{21}$

$9 + \sqrt{3}$

Conceptos:número complejo factorización fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

$A$ son las tres raíces cúbicas de $8;$ factoriza la segunda cúbica agrupando

$A$ is the three cube roots of $8;$ factor the second cubic by grouping

Pista grande:

La mayor distancia empareja una raíz cúbica no real de $8$ con la raíz real más lejana de la segunda ecuación

The largest distance pairs a nonreal cube root of $8$ with the farthest real root of the second equation

Solución:

El conjunto $A$ consta de las raíces cúbicas de $8:$ $2,$ $-1 + i\sqrt3,$ y $-1 - i\sqrt3.$

Factorizando por agrupación, $z^3 - 8z^2 - 8z + 64$ $= z^2(z - 8) - 8(z - 8)$ $= (z - 8)(z^2 - 8),$ así que $B = \{8, 2\sqrt2, -2\sqrt2\},$ todas reales.

La mayor distancia va de $-1 \pm i\sqrt3$ a $8:$ $\sqrt{(8 - (-1))^2 + (\sqrt3)^2}$ $= \sqrt{81 + 3}$ $= \sqrt{84} = 2\sqrt{21}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The set $A$ consists of the cube roots of $8:$ $2,$ $-1 + i\sqrt3,$ and $-1 - i\sqrt3.$

Factoring by grouping, $z^3 - 8z^2 - 8z + 64$ $= z^2(z - 8) - 8(z - 8)$ $= (z - 8)(z^2 - 8),$ so $B = \{8, 2\sqrt2, -2\sqrt2\},$ all real.

The greatest distance is from $-1 \pm i\sqrt3$ to $8:$ $\sqrt{(8 - (-1))^2 + (\sqrt3)^2}$ $= \sqrt{81 + 3}$ $= \sqrt{84} = 2\sqrt{21}.$

Thus, D is the correct answer.

16.

Se elige un punto al azar dentro del cuadrado en el plano coordenado cuyos vértices son $(0, 0),$ $(2020, 0),$ $(2020, 2020),$ y $(0, 2020).$ La probabilidad de que el punto esté a menos de $d$ unidades de un punto de la red es $\tfrac12.$ (Un punto $(x, y)$ es un punto de la red si $x$ e $y$ son ambos enteros.) ¿Cuánto vale $d$ redondeado a la décima más cercana?

A point is chosen at random within the square in the coordinate plane whose vertices are $(0, 0),$ $(2020, 0),$ $(2020, 2020),$ and $(0, 2020).$ The probability that the point is within $d$ units of a lattice point is $\tfrac12.$ (A point $(x, y)$ is a lattice point if $x$ and $y$ are both integers.) What is $d$ to the nearest tenth?

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

$0.7$

Conceptos:probabilidad geométrica área del círculo punto reticular

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Por periodicidad, concéntrate en un único cuadrado unitario con un punto de la red en cada esquina

By periodicity, focus on a single unit square with a lattice point at each corner

Pista grande:

Los cuatro cuartos de disco en una celda unitaria forman un disco completo de radio $d;$ iguala su área a $\tfrac12$ .

The four quarter-disks in one unit cell form one full disk of radius $d;$ set its area to $\tfrac12$

Solución:

Por periodicidad basta considerar una celda unitaria con un punto de la red en cada esquina. La región que está a menos de $d$ de una esquina consta de cuatro cuartos de disco de radio $d,$ que forman un disco completo de área $\pi d^2.$ El valor resultante será menor que $\tfrac12,$ así que estos cuartos de disco no se solapan.

Haciendo $\pi d^2 = \tfrac12$ se obtiene $d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399.$

Redondeado a la décima más cercana, $d = 0.4.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

By periodicity it suffices to consider one unit cell with a lattice point at each corner. The region within $d$ of a corner consists of four quarter-disks of radius $d,$ forming one full disk of area $\pi d^2.$ The resulting value will be less than $\tfrac12,$ so these quarter-disks do not overlap.

Setting $\pi d^2 = \tfrac12$ gives $d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399.$

To the nearest tenth, $d = 0.4.$

Thus, B is the correct answer.

17.

Los vértices de un cuadrilátero están en la gráfica de $y = \ln x,$ y las coordenadas $x$ de estos vértices son enteros positivos consecutivos. El área del cuadrilátero es $\ln\dfrac{91}{90}.$ ¿Cuál es la coordenada $x$ del vértice más a la izquierda?

The vertices of a quadrilateral lie on the graph of $y = \ln x,$ and the $x$ -coordinates of these vertices are consecutive positive integers. The area of the quadrilateral is $\ln\dfrac{91}{90}.$ What is the $x$ -coordinate of the leftmost vertex?

$6$

$7$

$10$

$12$

$13$

Conceptos:fórmula del cordón logaritmo cuadrática

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sean las coordenadas $x$ iguales a $n, n+1, n+2, n+3$ y aplica la fórmula del cordón de zapato

Let the $x$ -coordinates be $n, n+1, n+2, n+3$ and apply the shoelace formula

Pista grande:

El área se simplifica a $\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)};$ iguálala a $\ln\dfrac{91}{90}$ .

The area simplifies to $\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)};$ set it equal to $\ln\dfrac{91}{90}$

Solución:

Sean los vértices con coordenadas $x$ iguales a $n, n+1, n+2, n+3$ y coordenadas $y$ iguales a $\ln$ de esos valores. Aplicando la fórmula del cordón de zapato y simplificando, el área es $\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}.$

Haciendo $\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90}$ se obtiene $1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90},$ así que $n^2 + 3n = 180.$

Entonces $(n - 12)(n + 15) = 0,$ así que $n = 12.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the vertices have $x$ -coordinates $n, n+1, n+2, n+3$ with $y$ -coordinates $\ln$ of those values. Applying the shoelace formula and simplifying, the area is $\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}.$

Setting $\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90}$ gives $1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90},$ so $n^2 + 3n = 180.$

Then $(n - 12)(n + 15) = 0,$ so $n = 12.$

Thus, D is the correct answer.

18.

El cuadrilátero $ABCD$ cumple $\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ,$ $AC = 20,$ y $CD = 30.$ Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en el punto $E,$ y $AE = 5.$ ¿Cuál es el área del cuadrilátero $ABCD$ ?

Quadrilateral $ABCD$ satisfies $\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ,$ $AC = 20,$ and $CD = 30.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at point $E,$ and $AE = 5.$ What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$330$

$340$

$350$

$360$

$370$

Conceptos:geometría analítica círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Coloca $A = (0,0),$ $C = (20, 0),$ y $D = (20, 30),$ de modo que $E = (5, 0)$

Place $A = (0,0),$ $C = (20, 0),$ and $D = (20, 30),$ so $E = (5, 0)$

Pista grande:

Como $\angle ABC = 90^\circ,$ $B$ está en el círculo de diámetro $AC;$ también está en la recta $DE$

Since $\angle ABC = 90^\circ,$ $B$ lies on the circle with diameter $AC;$ it also lies on line $DE$

Solución:

Coloca $A = (0,0)$ y $C = (20, 0).$ Como $\angle ACD = 90^\circ,$ $D = (20, 30),$ y $E = (5, 0)$ porque $AE = 5.$

Como $\angle ABC = 90^\circ,$ $B$ está en el círculo de radio $10$ centrado en $(10, 0).$ La recta $DE$ es $(5 + t,\, 2t);$ sustituyendo se obtiene $t^2 - 2t - 15 = 0,$ así que $t = 5$ o $t = -3.$

Para que $E$ esté entre $B$ y $D,$ toma $t = -3,$ lo que da $B = (2, -6),$ a una distancia $6$ por debajo de la recta $AC.$

Entonces $[ACD] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 30 = 300$ y $[ABC] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 6 = 60,$ así que el área total es $360.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Place $A = (0,0)$ and $C = (20, 0).$ Since $\angle ACD = 90^\circ,$ $D = (20, 30),$ and $E = (5, 0)$ because $AE = 5.$

Since $\angle ABC = 90^\circ,$ $B$ lies on the circle of radius $10$ centered at $(10, 0).$ Line $DE$ is $(5 + t,\, 2t);$ substituting gives $t^2 - 2t - 15 = 0,$ so $t = 5$ or $t = -3.$

For $E$ to lie between $B$ and $D,$ take $t = -3,$ giving $B = (2, -6),$ a distance $6$ below line $AC.$

Then $[ACD] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 30 = 300$ and $[ABC] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 6 = 60,$ so the total area is $360.$

Thus, D is the correct answer.

19.

Existe una única sucesión estrictamente creciente de enteros no negativos $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k$ tal que $\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

There exists a unique strictly increasing sequence of nonnegative integers $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k$ such that $\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}.$ What is $k?$

$117$

$136$

$137$

$273$

$306$

Conceptos:base numérica potencia de 2 factorización

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Escribe $x = 2^{17};$ entonces el cociente es $\dfrac{x^{17} + 1}{x + 1} = x^{16} - x^{15} + \cdots + 1$ .

Write $x = 2^{17};$ then the quotient is $\dfrac{x^{17} + 1}{x + 1} = x^{16} - x^{15} + \cdots + 1$

Pista grande:

Agrupa los términos alternados en pares $x^{m+1} - x^m = 2^{17m}(2^{17} - 1),$ cada uno un bloque de $17$ unos en binario

Group the alternating terms into pairs $x^{m+1} - x^m = 2^{17m}(2^{17} - 1),$ each a block of $17$ ones in binary

Solución:

Sea $x = 2^{17}.$ Entonces $\dfrac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1}$ $= \dfrac{x^{17} + 1}{x + 1}$ $= x^{16} - x^{15} + \cdots - x + 1,$ una suma alternada de las $17$ potencias $x^0, x^1, \ldots, x^{16}.$

Empareja cada potencia restada con la potencia sumada justo por encima de ella: $x^{m+1} - x^m$ $= 2^{17m}(2^{17} - 1)$ $= 2^{17m} + 2^{17m+1}$ $+ \cdots + 2^{17m+16},$ un bloque de $17$ potencias consecutivas de $2.$

Hay $8$ pares de este tipo, junto con el sobrante $+2^0.$ Los bloques ocupan rangos disjuntos, así que el número total de potencias es $8 \cdot 17 + 1 = 137.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $x = 2^{17}.$ Then $\dfrac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1}$ $= \dfrac{x^{17} + 1}{x + 1}$ $= x^{16} - x^{15} + \cdots - x + 1,$ an alternating sum of the $17$ powers $x^0, x^1, \ldots, x^{16}.$

Pair each subtracted power with the added power just above it: $x^{m+1} - x^m$ $= 2^{17m}(2^{17} - 1)$ $= 2^{17m} + 2^{17m+1}$ $+ \cdots + 2^{17m+16},$ a block of $17$ consecutive powers of $2.$

There are $8$ such pairs, together with the leftover $+2^0.$ The blocks occupy disjoint ranges, so the total number of powers is $8 \cdot 17 + 1 = 137.$

Thus, C is the correct answer.

20.

Sea $T$ el triángulo en el plano coordenado con vértices $(0, 0),$ $(4, 0),$ y $(0, 3).$ Considera las siguientes cinco isometrías (transformaciones rígidas) del plano: rotaciones de $90^\circ,$ $180^\circ,$ y $270^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen, la reflexión respecto al eje $x$ , y la reflexión respecto al eje $y$ . ¿Cuántas de las $125$ sucesiones de tres de estas transformaciones (no necesariamente distintas) devolverán $T$ a su posición original? (Por ejemplo, una rotación de $180^\circ$ , seguida de una reflexión respecto al eje $x$ , seguida de una reflexión respecto al eje $y$ , devolverá $T$ a su posición original, pero una rotación de $90^\circ$ , seguida de una reflexión respecto al eje $x$ , seguida de otra reflexión respecto al eje $x$ , no devolverá $T$ a su posición original.)

Let $T$ be the triangle in the coordinate plane with vertices $(0, 0),$ $(4, 0),$ and $(0, 3).$ Consider the following five isometries (rigid transformations) of the plane: rotations of $90^\circ,$ $180^\circ,$ and $270^\circ$ counterclockwise around the origin, reflection across the $x$ -axis, and reflection across the $y$ -axis. How many of the $125$ sequences of three of these transformations (not necessarily distinct) will return $T$ to its original position? (For example, a $180^\circ$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by a reflection across the $y$ -axis will return $T$ to its original position, but a $90^\circ$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by another reflection across the $x$ -axis will not return $T$ to its original position.)

$12$

$15$

$17$

$20$

$25$

Conceptos:transformación análisis por casos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Como $T$ es escaleno, la única isometría que fija $T$ es la identidad, así que las tres deben componer la identidad

Since $T$ is scalene, the only isometry fixing $T$ is the identity, so the three must compose to the identity

Pista grande:

La tercera transformación queda determinada por las dos primeras; se permite exactamente cuando el producto de las dos primeras es de nuevo una de las cinco aplicaciones

The third transformation is forced by the first two; it is allowed exactly when the product of the first two is again one of the five maps

Solución:

Como $T$ es un triángulo rectángulo escaleno, la única isometría que lleva $T$ a sí mismo es la identidad, así que una sucesión funciona exactamente cuando las tres transformaciones se componen en la identidad.

Sea $r$ la rotación de $90^\circ$ y $s$ la reflexión respecto del eje $x$ . Las cinco aplicaciones permitidas son $r,r^2,r^3,s,r^2s;$ las aplicaciones no idénticas ausentes son las reflexiones diagonales $rs,r^3s.$ En una terna ordenada, la tercera aplicación queda determinada por las dos primeras y está permitida exactamente cuando su producto es una de las cinco.

Exactamente $5$ pares ordenados tienen producto identidad: cada primera aplicación se empareja con su inversa. Una reflexión diagonal requiere una rotación y una reflexión axial; $r$ o $r^3$ puede emparejarse a cualquiera de los dos lados con $s$ o $r^2s,$ lo que da $2\cdot2\cdot2=8$ pares. Los $25-5-8=12$ pares restantes dan sucesiones válidas.

Así, A es la respuesta correcta.

Because $T$ is a scalene right triangle, the only isometry carrying $T$ to itself is the identity, so a sequence works exactly when the three transformations compose to the identity.

Let $r$ be the $90^\circ$ rotation and $s$ reflection across the $x$ -axis. The five allowed maps are $r,r^2,r^3,s,r^2s;$ the missing nonidentity maps are the diagonal reflections $rs,r^3s.$ In an ordered triple, the third map is forced by the first two and is allowed precisely when their product is one of the five.

Exactly $5$ ordered pairs have product identity: each first map is paired with its inverse. A diagonal reflection requires one rotation and one axis reflection; $r$ or $r^3$ may be paired on either side with $s$ or $r^2s,$ giving $2\cdot2\cdot2=8$ pairs. The remaining $25-5-8=12$ ordered pairs give valid sequences.

Thus, A is the correct answer.

21.

¿Cuántos enteros positivos $n$ hay tales que $n$ es múltiplo de $5,$ y el mínimo común múltiplo de $5!$ y $n$ es igual a $5$ veces el máximo común divisor de $10!$ y $n$ ?

How many positive integers $n$ are there such that $n$ is a multiple of $5,$ and the least common multiple of $5!$ and $n$ equals $5$ times the greatest common divisor of $10!$ and $n?$

$12$

$24$

$36$

$48$

$72$

Conceptos:mínimo común múltiplo máximo común divisor factorización en primos

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

$5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ y $10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7;$ compara los exponentes de cada primo

$5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ and $10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7;$ compare exponents of each prime

Pista grande:

Multiplicar el máximo común divisor por $5$ aumenta en uno la potencia de $5$ ; determina el exponente permitido de cada primo en $n$

Multiplying the gcd by $5$ raises the power of $5$ by one; work out the allowed exponent of each prime in $n$

Solución:

Escribe $n = 2^a 3^b 5^c 7^d \cdots.$ Como $5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ no tiene otros primos, $n$ solo puede involucrar $2, 3, 5, 7.$ Igualando exponentes en $\operatorname{lcm}(5!, n) = 5 \cdot \gcd(10!, n):$

Para $2:$ $\max(3, a) = \min(8, a),$ así que $3 \le a \le 8$ da $6$ valores. Para $3:$ $\max(1, b) = \min(4, b),$ así que $1 \le b \le 4$ da $4$ valores.

Para $5:$ $\max(1, c) = 1 + \min(2, c)$ con $c \ge 1,$ lo que fuerza $c = 3,$ dando $1$ valor. Para $7:$ $\max(0, d) = \min(1, d),$ así que $d = 0$ o $1,$ dando $2$ valores.

El total es $6 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 = 48.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Write $n = 2^a 3^b 5^c 7^d \cdots.$ Since $5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ has no other primes, $n$ can only involve $2, 3, 5, 7.$ Matching exponents in $\operatorname{lcm}(5!, n) = 5 \cdot \gcd(10!, n):$

For $2:$ $\max(3, a) = \min(8, a),$ so $3 \le a \le 8$ gives $6$ values. For $3:$ $\max(1, b) = \min(4, b),$ so $1 \le b \le 4$ gives $4$ values.

For $5:$ $\max(1, c) = 1 + \min(2, c)$ with $c \ge 1,$ which forces $c = 3,$ giving $1$ value. For $7:$ $\max(0, d) = \min(1, d),$ so $d = 0$ or $1,$ giving $2$ values.

The total is $6 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 = 48.$

Thus, D is the correct answer.

22.

Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ las sucesiones de números reales tales que $(2 + i)^n = a_n + b_n i$ para todos los enteros $n \ge 0,$ donde $i = \sqrt{-1}.$ ¿Cuánto vale $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n b_n}{7^n}?$

Let $(a_n)$ and $(b_n)$ be the sequences of real numbers such that $(2 + i)^n = a_n + b_n i$ for all integers $n \ge 0,$ where $i = \sqrt{-1}.$ What is $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n b_n}{7^n}?$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{4}{7}$

Conceptos:número complejo sumatoria

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Nota que $a_n b_n$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((a_n + b_n i)^2\big)$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((2 + i)^{2n}\big)$

$a_n b_n$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((a_n + b_n i)^2\big)$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((2 + i)^{2n}\big)$

Pista grande:

Como $(2 + i)^2 = 3 + 4i,$ la suma se convierte en una serie geométrica de razón $\dfrac{3 + 4i}{7}$

Since $(2 + i)^2 = 3 + 4i,$ the sum becomes a geometric series with ratio $\dfrac{3 + 4i}{7}$

Solución:

Como $(a_n + b_n i)^2 = a_n^2 - b_n^2 + 2 a_n b_n i,$ tenemos $a_n b_n$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((2 + i)^{2n}\big)$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((3 + 4i)^n\big).$

Por lo tanto la suma es $\tfrac12 \operatorname{Im} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{3 + 4i}{7}\right)^n$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{1 - \frac{3 + 4i}{7}}\right).$

Esto es igual a $\tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7}{4 - 4i}\right)$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7(4 + 4i)}{32}\right)$ $= \tfrac12 \cdot \dfrac{28}{32}$ $= \dfrac{7}{16}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since $(a_n + b_n i)^2 = a_n^2 - b_n^2 + 2 a_n b_n i,$ we have $a_n b_n$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((2 + i)^{2n}\big)$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((3 + 4i)^n\big).$

Therefore the sum is $\tfrac12 \operatorname{Im} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{3 + 4i}{7}\right)^n$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{1 - \frac{3 + 4i}{7}}\right).$

This equals $\tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7}{4 - 4i}\right)$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7(4 + 4i)}{32}\right)$ $= \tfrac12 \cdot \dfrac{28}{32}$ $= \dfrac{7}{16}.$

Thus, B is the correct answer.

23.

Jason lanza tres dados justos estándar de seis caras. Luego mira los resultados y elige un subconjunto de los dados (posiblemente vacío, posiblemente los tres dados) para relanzar. Después de relanzar, gana si y solo si la suma de los números que quedan hacia arriba en los tres dados es exactamente $7.$ Jason siempre juega para optimizar sus posibilidades de ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que elija relanzar exactamente dos de los dados?

Jason rolls three fair standard six-sided dice. Then he looks at the rolls and chooses a subset of the dice (possibly empty, possibly all three dice) to reroll. After rerolling, he wins if and only if the sum of the numbers face up on the three dice is exactly $7.$ Jason always plays to optimize his chances of winning. What is the probability that he chooses to reroll exactly two of the dice?

$\dfrac{7}{36}$

$\dfrac{5}{24}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{17}{72}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:dados (probabilidad)optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Compara la probabilidad de ganar al relanzar un dado (conservando dos cuya suma sea a lo sumo $6$ ) con la de relanzar dos (conservando un dado pequeño)

Compare the win chance from rerolling one die (keep two summing to at most $6$ ) with rerolling two (keep one small die)

Pista grande:

Relanzar exactamente dos es lo mejor cuando ningún par de dados suma $6$ o menos, pero el dado más pequeño es lo bastante pequeño como para superar el relanzar los tres

Rerolling exactly two is best when no two dice sum to $6$ or less, yet the smallest die is small enough to beat rerolling all three

Solución:

Al volver a lanzar un dado y conservar dos que suman $s,$ se gana con probabilidad $\tfrac16$ cuando $s \le 6$ y con $0$ en caso contrario. Al volver a lanzar dos dados y conservar uno de valor $v,$ la probabilidad de ganar es la cantidad de maneras en que dos dados suman $7 - v,$ dividida entre $36;$ esta es mayor cuando $v$ es menor. Para $v=1,2,3,$ las probabilidades son $\tfrac5{36},\tfrac4{36},\tfrac3{36},$ todas mayores que la probabilidad de relanzar los tres, $\tfrac{15}{216}=\tfrac{5}{72};$ para $v\ge4,$ es mejor relanzarlos todos.

Relanzar exactamente dos dados es estrictamente óptimo precisamente cuando los dos dados menores suman al menos $7$ (de modo que relanzar uno no puede llegar a $7$ ) y el dado menor es $1, 2,$ o $3$ (de modo que conservarlo supera a relanzar los tres).

Ordenemos el resultado como $u\le v\le w.$ Si $u=1,$ la única posibilidad es $(1,6,6),$ con $3$ ordenaciones. Si $u=2,$ las posibilidades $(2,5,5),(2,5,6),(2,6,6)$ tienen $3+6+3=12$ ordenaciones. Si $u=3,$ elegimos $v,w$ con repetición de $\{4,5,6\};$ las seis ternas resultantes tienen $3+6+6+3+6+3=27$ ordenaciones. Por tanto, hay $3+12+27=42$ resultados ordenados válidos de $216,$ con probabilidad $\dfrac{42}{216} = \dfrac{7}{36}.$

Así, A es la respuesta correcta.

Rerolling one die, keeping two dice that sum to $s,$ wins with probability $\tfrac16$ when $s \le 6$ and $0$ otherwise. Rerolling two dice, keeping a die of value $v,$ wins with probability equal to the number of ways two dice sum to $7 - v,$ over $36;$ this is largest when $v$ is smallest. For $v=1,2,3,$ these probabilities are $\tfrac5{36},\tfrac4{36},\tfrac3{36},$ all greater than the reroll-all probability $\tfrac{15}{216}=\tfrac{5}{72};$ for $v\ge4,$ rerolling all is better.

Rerolling exactly two dice is strictly best precisely when the two smallest dice sum to at least $7$ (so rerolling one cannot reach $7$ ) while the smallest die is $1, 2,$ or $3$ (so keeping it beats rerolling all three).

Sort the roll as $u\le v\le w.$ If $u=1,$ the only possibility is $(1,6,6),$ with $3$ orderings. If $u=2,$ the possibilities $(2,5,5),(2,5,6),(2,6,6)$ have $3+6+3=12$ orderings. If $u=3,$ choose $v,w$ with repetition from $\{4,5,6\};$ the six resulting triples have $3+6+6+3+6+3=27$ orderings. Thus there are $3+12+27=42$ qualifying ordered rolls out of $216,$ a probability of $\dfrac{42}{216} = \dfrac{7}{36}.$

Thus, A is the correct answer.

24.

Supón que $\triangle ABC$ es un triángulo equilátero de lado $s,$ con la propiedad de que existe un único punto $P$ dentro del triángulo tal que $AP = 1,$ $BP = \sqrt{3},$ y $CP = 2.$ ¿Cuánto vale $s$ ?

Suppose that $\triangle ABC$ is an equilateral triangle of side length $s,$ with the property that there is a unique point $P$ inside the triangle such that $AP = 1,$ $BP = \sqrt{3},$ and $CP = 2.$ What is $s?$

$1 + \sqrt{2}$

$\sqrt{7}$

$\dfrac{8}{3}$

$\sqrt{5 + \sqrt{5}}$

$2\sqrt{2}$

Conceptos:triángulo equilátero cuadrática

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Para un punto a distancias $p, q, r$ de los vértices de un triángulo equilátero de lado $s,$ los cuatro valores satisfacen $3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2$

For a point at distances $p, q, r$ from the vertices of an equilateral triangle of side $s,$ the four values satisfy $3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2$

Pista grande:

Sustituye $p^2 = 1,$ $q^2 = 3,$ $r^2 = 4$ y resuelve la ecuación cuadrática resultante en $s^2$

Substitute $p^2 = 1,$ $q^2 = 3,$ $r^2 = 4$ and solve the resulting quadratic in $s^2$

Solución:

Un punto a distancias $p, q, r$ de los vértices de un triángulo equilátero de lado $s$ satisface $3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2.$

Con $p^2 = 1,$ $q^2 = 3,$ $r^2 = 4,$ tomando $S = s^2$ se obtiene $3(26 + S^2) = (8 + S)^2,$ así que $S^2 - 8S + 7 = 0$ y $S = 1$ o $S = 7.$

Un triángulo de lado $1$ no puede contener un punto a distancia $2$ de un vértice, así que $S = 7$ y $s = \sqrt{7}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

A point at distances $p, q, r$ from the vertices of an equilateral triangle of side $s$ satisfies $3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2.$

With $p^2 = 1,$ $q^2 = 3,$ $r^2 = 4,$ letting $S = s^2$ gives $3(26 + S^2) = (8 + S)^2,$ so $S^2 - 8S + 7 = 0$ and $S = 1$ or $S = 7.$

A triangle of side $1$ cannot contain a point at distance $2$ from a vertex, so $S = 7$ and $s = \sqrt{7}.$

Thus, B is the correct answer.

25.

El número $a = \dfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí, tiene la propiedad de que la suma de todos los números reales $x$ que satisfacen $\lfloor x \rfloor \cdot \{x\} = a \cdot x^2$ es $420,$ donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ y $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ denota la parte fraccionaria de $x.$ ¿Cuánto vale $p + q$ ?

The number $a = \dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers, has the property that the sum of all real numbers $x$ satisfying $\lfloor x \rfloor \cdot \{x\} = a \cdot x^2$ is $420,$ where $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$ and $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ denotes the fractional part of $x.$ What is $p + q?$

$245$

$593$

$929$

$1331$

$1332$

Conceptos:funciones piso y techo cuadrática sumatoria

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

En $x \in [n, n+1)$ escribe $\lfloor x \rfloor = n$ y $\{x\} = x - n,$ convirtiendo la ecuación en una cuadrática $a x^2 - n x + n^2 = 0$ .

On $x \in [n, n+1)$ write $\lfloor x \rfloor = n$ and $\{x\} = x - n,$ turning the equation into a quadratic $a x^2 - n x + n^2 = 0$

Pista grande:

Parametriza las dos raíces, tras dividir entre $n$ , como $1+\dfrac1u$ y $1+u;$ determina qué enteros positivos $n$ hacen que una raíz caiga en $[n,n+1)$

Parameterize the two roots after dividing by $n$ as $1+\dfrac1u$ and $1+u;$ determine which positive integers $n$ put a root in $[n,n+1)$

Solución:

No hay soluciones negativas, mientras que $x=0$ siempre es solución. Para $n\ge1$ y $x\in[n,n+1),$ sea $y=\frac{x}{n}.$ La ecuación se convierte en $ay^2-y+1=0.$ Sus raíces deben ser reales, así que $0\lt a\le\tfrac14.$

Si las dos raíces son $\alpha\le\beta,$ su suma y producto son ambos $\frac{1}{a},$ de modo que $(\alpha-1)(\beta-1)=1.$ Escribamos $\alpha=1+\dfrac1u,\qquad \beta=1+u$ con $u\ge1.$ Entonces $a=\dfrac{u}{(u+1)^2}.$ La raíz $x=n\alpha$ está en $[n,n+1)$ exactamente cuando $n\lt u,$ mientras que $n\beta$ nunca está allí para un entero positivo $n.$

El total positivo requerido asegura que $u\gt1.$ Sea $N$ el mayor entero positivo menor que $u,$ de modo que $N\lt u\le N+1.$ La suma de todas las soluciones es entonces $\dfrac{u+1}{u}\cdot\dfrac{N(N+1)}2=420.$ Como $\dfrac{u+1}{u}$ decrece con $u,$ estas desigualdades implican $\dfrac{N(N+2)}2\le420\lt\dfrac{(N+1)^2}{2},$ lo que obliga a $N=28.$

Al sustituir, $406\cdot\dfrac{u+1}{u}=420,$ así que $u=29.$ Por tanto, $a=\dfrac{29}{30^2}=\dfrac{29}{900}.$ En efecto, las soluciones positivas son $x=\dfrac{30n}{29}$ para $1\le n\le28,$ y suman $420.$ Entonces $p+q=29+900=929.$

Así, C es la respuesta correcta.

There are no negative solutions, while $x=0$ is always a solution. For $n\ge1$ and $x\in[n,n+1),$ put $y=\frac{x}{n}.$ The equation becomes $ay^2-y+1=0.$ Its roots must be real, so $0\lt a\le\tfrac14.$

If the two roots are $\alpha\le\beta,$ their sum and product are both $\frac{1}{a},$ so $(\alpha-1)(\beta-1)=1.$ Write $\alpha=1+\dfrac1u,\qquad \beta=1+u$ with $u\ge1.$ Then $a=\dfrac{u}{(u+1)^2}.$ The root $x=n\alpha$ lies in $[n,n+1)$ exactly when $n\lt u,$ while $n\beta$ never lies there for a positive integer $n.$

The required positive total ensures $u\gt1.$ Let $N$ be the largest positive integer less than $u,$ so $N\lt u\le N+1.$ The sum of all solutions is therefore $\dfrac{u+1}{u}\cdot\dfrac{N(N+1)}2=420.$ Because $\dfrac{u+1}{u}$ decreases with $u,$ these inequalities imply $\dfrac{N(N+2)}2\le420\lt\dfrac{(N+1)^2}{2},$ which forces $N=28.$

Substitution gives $406\cdot\dfrac{u+1}{u}=420,$ so $u=29.$ Hence $a=\dfrac{29}{30^2}=\dfrac{29}{900}.$ Indeed the positive solutions are $x=\dfrac{30n}{29}$ for $1\le n\le28,$ and their sum is $420.$ Therefore $p+q=29+900=929.$

Thus, C is the correct answer.