Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2011 AMC 12A Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2011 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2011 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

Supongamos que aa y bb son enteros positivos de un solo dígito elegidos de forma independiente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto (a,b)(a, b) esté por encima de la parábola y=ax2−bxy = ax^2 - bx?
Suppose aa and bb are single-digit positive integers chosen independently and at random. What is the probability that the point (a,b)(a, b) lies above the parabola y=ax2−bx?y = ax^2 - bx?
1181\dfrac{11}{81}
1381\dfrac{13}{81}
527\dfrac{5}{27}
1781\dfrac{17}{81}
1981\dfrac{19}{81}
Respuesta: E
Conceptos:parábolaprobabilidad básicaanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1690
Pista pequeña:
El punto está por encima de la parábola cuando b>a⋅a2−b⋅a,b \gt a \cdot a^2 - b \cdot a, es decir b(a+1)>a3b(a + 1) \gt a^3
The point is above the parabola when b>a⋅a2−b⋅a,b \gt a \cdot a^2 - b \cdot a, i.e. b(a+1)>a3b(a + 1) \gt a^3
Pista grande:
Cuenta los bb válidos en {1,…,9}\{1, \ldots, 9\} para cada a;a; solo a=1,2,3a = 1, 2, 3 permiten alguno
Count valid bb in {1,…,9}\{1, \ldots, 9\} for each a;a; only a=1,2,3a = 1, 2, 3 allow any
Solución:
Sustituyendo x=a,x = a, y=b,y = b, el punto está por encima de la parábola cuando b>a3−ab,b \gt a^3 - ab, es decir b(a+1)>a3.b(a + 1) \gt a^3.
Para a=1:a = 1: b>12,b \gt \tfrac12, los 99 valores sirven. Para a=2:a = 2: b>83,b \gt \tfrac83, así que b≥3,b \ge 3, lo que da 7.7. Para a=3:a = 3: b>274=6.75,b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75, así que b≥7,b \ge 7, lo que da 3.3. Para a≥4,a \ge 4, ningún b≤9b \le 9 sirve.
El conteo es 9+7+3=199 + 7 + 3 = 19 de 81,81, así que la probabilidad es 1981.\dfrac{19}{81}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Substituting x=a,x = a, y=b,y = b, the point is above the parabola when b>a3−ab,b \gt a^3 - ab, i.e. b(a+1)>a3.b(a + 1) \gt a^3.
For a=1:a = 1: b>12,b \gt \tfrac12, all 99 values work. For a=2:a = 2: b>83,b \gt \tfrac83, so b≥3,b \ge 3, giving 7.7. For a=3:a = 3: b>274=6.75,b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75, so b≥7,b \ge 7, giving 3.3. For a≥4,a \ge 4, no b≤9b \le 9 works.
The count is 9+7+3=199 + 7 + 3 = 19 out of 81,81, so the probability is 1981.\dfrac{19}{81}.
Thus, the correct answer is E.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

El Problema 14 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B