Question

Supongamos que $a$ y $b$ son enteros positivos de un solo dígito elegidos de forma independiente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto $(a, b)$ esté por encima de la parábola $y = ax^2 - bx$ ?

Suppose $a$ and $b$ are single-digit positive integers chosen independently and at random. What is the probability that the point $(a, b)$ lies above the parabola $y = ax^2 - bx?$

$\dfrac{11}{81}$

$\dfrac{13}{81}$

$\dfrac{5}{27}$

$\dfrac{17}{81}$

$\dfrac{19}{81}$

Solución:

Sustituyendo $x = a,$ $y = b,$ el punto está por encima de la parábola cuando $b \gt a^3 - ab,$ es decir $b(a + 1) \gt a^3.$

Para $a = 1:$ $b \gt \tfrac12,$ los $9$ valores sirven. Para $a = 2:$ $b \gt \tfrac83,$ así que $b \ge 3,$ lo que da $7.$ Para $a = 3:$ $b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75,$ así que $b \ge 7,$ lo que da $3.$ Para $a \ge 4,$ ningún $b \le 9$ sirve.

El conteo es $9 + 7 + 3 = 19$ de $81,$ así que la probabilidad es $\dfrac{19}{81}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting $x = a,$ $y = b,$ the point is above the parabola when $b \gt a^3 - ab,$ i.e. $b(a + 1) \gt a^3.$

For $a = 1:$ $b \gt \tfrac12,$ all $9$ values work. For $a = 2:$ $b \gt \tfrac83,$ so $b \ge 3,$ giving $7.$ For $a = 3:$ $b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75,$ so $b \ge 7,$ giving $3.$ For $a \ge 4,$ no $b \le 9$ works.

The count is $9 + 7 + 3 = 19$ out of $81,$ so the probability is $\dfrac{19}{81}.$

Thus, the correct answer is E.

2011 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años