Question

Joey y Chloe y su hija Zoe tienen todos el mismo cumpleaños. Joey es $1$ año mayor que Chloe, y Zoe tiene exactamente $1$ año hoy. Hoy es el primero de los $9$ cumpleaños en los que la edad de Chloe será un múltiplo entero de la edad de Zoe. ¿Cuál será la suma de los dos dígitos de la edad de Joey la próxima vez que su edad sea un múltiplo de la edad de Zoe?

Joey and Chloe and their daughter Zoe all have the same birthday. Joey is $1$ year older than Chloe, and Zoe is exactly $1$ year old today. Today is the first of the $9$ birthdays on which Chloe's age will be an integral multiple of Zoe's age. What will be the sum of the two digits of Joey's age the next time his age is a multiple of Zoe's age?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Solución:

Sea $n$ la edad de Chloe hoy, de modo que ella es $n-1$ años mayor que Zoe. Dentro de $y$ años, la edad de Chloe $n+y$ es un múltiplo de la edad de Zoe $1+y$ exactamente cuando $1+y$ divide a $n-1.$ Tener $9$ de esos cumpleaños significa que $n-1$ tiene exactamente $9$ divisores.

Un número con exactamente $9$ divisores tiene la forma $p^2q^2$ o $p^8;$ el único caso de dos dígitos es $2^2\cdot3^2=36.$ Así que Chloe tiene $37$ y Joey tiene $38.$

La edad de Joey $38+y$ es un múltiplo de $1+y$ exactamente cuando $1+y$ divide a $37.$ La próxima vez es $y=36,$ lo que hace a Joey de $74,$ con suma de dígitos $7+4=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let Chloe be $n$ today, so she is $n-1$ years older than Zoe. In $y$ years Chloe's age $n+y$ is a multiple of Zoe's age $1+y$ exactly when $1+y$ divides $n-1.$ Having $9$ such birthdays means $n-1$ has exactly $9$ divisors.

A number with exactly $9$ divisors has the form $p^2q^2$ or $p^8;$ the only two-digit case is $2^2\cdot3^2=36.$ So Chloe is $37$ and Joey is $38.$

Joey's age $38+y$ is a multiple of $1+y$ exactly when $1+y$ divides $37.$ The next time is $y=36,$ making Joey $74,$ with digit sum $7+4=11.$

Thus, the correct answer is E.

2018 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años