Question

La gráfica de $y = x^2 + 2x - 15$ corta al eje $x$ en los puntos $A$ y $C$ y al eje $y$ en el punto $B.$ ¿Cuánto vale $\tan(\angle ABC)$ ?

The graph of $y = x^2 + 2x - 15$ intersects the $x$ -axis at points $A$ and $C$ and the $y$ -axis at point $B.$ What is $\tan(\angle ABC)?$

$\dfrac17$

$\dfrac14$

$\dfrac37$

$\dfrac12$

$\dfrac47$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica vector trigonometría

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Factoriza para hallar las intersecciones: $A$ y $C$ en el eje $x$ , $B$ en el eje $y$ .

Factor to find the intercepts: $A$ and $C$ on the $x$ -axis, $B$ on the $y$ -axis

Pista grande:

Con los vectores $\vec{BA}$ y $\vec{BC},$ usa $\tan\theta = \dfrac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}$ .

With vectors $\vec{BA}$ and $\vec{BC},$ use $\tan\theta = \dfrac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}$

Solución:

Factorizando, $x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3),$ así que $A = (-5, 0)$ y $C = (3, 0),$ y la intersección con el eje $y$ es $B = (0, -15).$

Entonces $\vec{BA} = (-5, 15)$ y $\vec{BC} = (3, 15).$ Usando los productos vectorial y escalar, $\begin{gathered} \tan(\angle ABC) = \scriptsize \dfrac{|(-5)(15) - (15)(3)|}{(-5)(3) + (15)(15)} \\ = \dfrac{120}{210} \\ = \dfrac47. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring, $x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3),$ so $A = (-5, 0)$ and $C = (3, 0),$ and the $y$ -intercept is $B = (0, -15).$

Then $\vec{BA} = (-5, 15)$ and $\vec{BC} = (3, 15).$ Using the cross and dot products, $\begin{gathered} \tan(\angle ABC) = \scriptsize \dfrac{|(-5)(15) - (15)(3)|}{(-5)(3) + (15)(15)} \\ = \dfrac{120}{210} \\ = \dfrac47. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12B Problema 14

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años