Question

Los números, en orden, de cada fila y los números, en orden, de cada columna de un arreglo $5\times5$ de enteros forman una progresión aritmética de longitud $5.$ Los números en las posiciones $(5,5),\ (2,4),\ (4,3),$ y $(3,1)$ son $0,\ 48,\ 16,$ y $12,$ respectivamente. ¿Qué número está en la posición $(1,2)$ ?

$\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}$

The numbers, in order, of each row and the numbers, in order, of each column of a $5\times5$ array of integers form an arithmetic progression of length $5.$ The numbers in positions $(5,5),\ (2,4),\ (4,3),$ and $(3,1)$ are $0,\ 48,\ 16,$ and $12,$ respectively. What number is in position $(1,2)?$

$\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}$

$19$

$24$

$29$

$34$

$39$

Solución:

Una cuadrícula cuyas filas y columnas son todas aritméticas tiene entradas de la forma bilineal $a(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij.$ Los cuatro datos dan $\alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0,$ $\alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48,$ $\alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16,$ $\alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12.$

Al resolver se obtiene $\delta=-5,\ \beta=5,\$ $\gamma=22,\ \alpha=-10.$ Entonces $a(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta$ $=-10+5+44-10$ $=29.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A grid whose rows and columns are all arithmetic has entries of the bilinear form $a(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij.$ The four givens yield $\alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0,$ $\alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48,$ $\alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16,$ $\alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12.$

Solving gives $\delta=-5,\ \beta=5,\$ $\gamma=22,\ \alpha=-10.$ Then $a(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta$ $=-10+5+44-10$ $=29.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años