Question

Bernardo y Silvia juegan al siguiente juego. Se selecciona un entero entre $0$ y $999,$ inclusive, y se le da a Bernardo. Cada vez que Bernardo recibe un número, lo duplica y pasa el resultado a Silvia. Cada vez que Silvia recibe un número, le suma $50$ y pasa el resultado a Bernardo. El ganador es la última persona que produce un número menor que $1000.$ Sea $N$ el menor número inicial que resulta en una victoria para Bernardo. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Bernardo and Silvia play the following game. An integer between $0$ and $999,$ inclusive, is selected and given to Bernardo. Whenever Bernardo receives a number, he doubles it and passes the result to Silvia. Whenever Silvia receives a number, she adds $50$ to it and passes the result to Bernardo. The winner is the last person who produces a number less than $1000.$ Let $N$ be the smallest initial number that results in a win for Bernardo. What is the sum of the digits of $N?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: A

Conceptos:trabajar hacia atrás desigualdad

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Bernardo gana en un turno cuando su resultado duplicado alcanza $1000,$ obligando a que el siguiente número de Silvia sea al menos $1000$

Bernardo wins on a turn when his doubled result reaches $1000,$ forcing Silvia’s next number to be at least $1000$

Pista grande:

Trabaja hacia atrás: halla el menor inicio que primero alcanza $\ge1000$ tras la jugada de Bernardo, en una, dos, tres o cuatro rondas

Work backwards: find the smallest start that first reaches $\ge1000$ after Bernardo’s move, over one, two, three, or four rounds

Solución:

Bernardo gana tras una ronda cuando su número duplicado $2n+50\ge1000$ pero los números anteriores se mantuvieron por debajo de $1000.$ El menor $n$ con $2n+50\ge1000$ es $475.$

Trabajando hacia atrás, los menores valores iniciales que llevan a una victoria tras dos, tres y cuatro rondas son los menores enteros con $2n+50\ge475,$ $\ge213,$ y $\ge82,$ a saber $213,$ $82,$ y $16.$ Ningún inicio gana tras más de cuatro rondas.

Así que $N=16,$ y la suma de sus dígitos es $1+6=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Bernardo wins after a round when his doubled number $2n+50\ge1000$ but the previous numbers stayed below $1000.$ The smallest $n$ with $2n+50\ge1000$ is $475.$

Working backwards, the smallest starting values that lead to a win after two, three, and four rounds are the smallest integers with $2n+50\ge475,$ $\ge213,$ and $\ge82,$ namely $213,$ $82,$ and $16.$ No start wins after more than four rounds.

So $N=16,$ and the sum of its digits is $1+6=7.$

Thus, the correct answer is A.

2012 AMC 12B Problema 14

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años