Question

La curva cerrada de la figura está formada por $9$ arcos circulares congruentes, cada uno de longitud $\dfrac{2\pi}{3},$ donde cada uno de los centros de los círculos correspondientes está entre los vértices de un hexágono regular de lado $2.$ ¿Cuál es el área encerrada por la curva?

The closed curve in the figure is made up of $9$ congruent circular arcs each of length $\dfrac{2\pi}{3},$ where each of the centers of the corresponding circles is among the vertices of a regular hexagon of side $2.$ What is the area enclosed by the curve?

$2\pi + 6$

$2\pi + 4\sqrt{3}$

$3\pi + 4$

$2\pi + 3\sqrt{3} + 2$

$\pi + 6\sqrt{3}$

Solución:

Cada arco tiene longitud $\dfrac{2\pi}{3}$ en un círculo unitario, así que es un sector de $120^\circ$ . Los nueve sectores iguales se pueden reensamblar de modo que la región encerrada sea igual al hexágono regular de lado $2$ más un círculo completo de radio $1.$

Un hexágono regular de lado $2$ se divide en $6$ triángulos equiláteros de lado $2,$ así que su área es $6 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 2^2 = 6\sqrt3.$

Al sumar el área del círculo unitario $\pi$ se obtiene $\pi + 6\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each arc has length $\dfrac{2\pi}{3}$ on a unit circle, so it is a $120^\circ$ sector. The nine equal sectors can be reassembled so that the enclosed region equals the regular hexagon of side $2$ plus one full circle of radius $1.$

A regular hexagon of side $2$ splits into $6$ equilateral triangles of side $2,$ so its area is $6 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 2^2 = 6\sqrt3.$

Adding the unit circle's area $\pi$ gives $\pi + 6\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

2012 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años