Question

Un cuadrado de $3 \times 3$ se divide en $9$ cuadrados unitarios. Cada cuadrado unitario se pinta de blanco o de negro, siendo cada color igualmente probable, elegido de forma independiente y al azar. Luego el cuadrado se rota $90^\circ$ en sentido horario alrededor de su centro, y todo cuadrado blanco que quede en una posición antes ocupada por un cuadrado negro se pinta de negro. Los colores de todos los demás cuadrados permanecen sin cambios. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuadrícula sea ahora completamente negra?

A $3 \times 3$ square is partitioned into $9$ unit squares. Each unit square is painted either white or black with each color being equally likely, chosen independently and at random. The square is then rotated $90^\circ$ clockwise about its center, and every white square in a position formerly occupied by a black square is painted black. The colors of all other squares are left unchanged. What is the probability that the grid is now entirely black?

$\dfrac{49}{512}$

$\dfrac{7}{64}$

$\dfrac{121}{1024}$

$\dfrac{81}{512}$

$\dfrac{9}{32}$

Solución:

Las cuatro esquinas forman un ciclo bajo la rotación, los cuatro cuadrados de los bordes forman otro, y el centro queda fijo. Estos tres grupos son independientes.

Para las cuatro esquinas, al revisar las $2^4 = 16$ coloraciones se ve que $7$ de ellas terminan todas negras, así que las esquinas son todas negras con probabilidad $\dfrac{7}{16}.$ Lo mismo vale para los cuatro bordes.

El centro es negro al final solo si empezó negro, con probabilidad $\dfrac12.$ Multiplicando, toda la cuadrícula es negra con probabilidad $\frac12 \cdot \left(\frac{7}{16}\right)^2 = \frac{49}{512}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The four corners form one cycle under the rotation, the four edge squares form another, and the center is fixed. These three groups are independent.

For the four corners, checking the $2^4 = 16$ colorings shows that $7$ of them end all black, so the corners are all black with probability $\dfrac{7}{16}.$ The same holds for the four edges.

The center is black at the end only if it started black, with probability $\dfrac12.$ Multiplying, the whole grid is black with probability $\frac12 \cdot \left(\frac{7}{16}\right)^2 = \frac{49}{512}.$

Thus, the correct answer is A.

2012 AMC 12A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años