Question

Supón que $\cos x = 0$ y $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}.$ ¿Cuál es el menor valor positivo posible de $z$ ?

Suppose $\cos x = 0$ and $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}.$ What is the smallest possible positive value of $z?$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{5\pi}{6}$

$\dfrac{7\pi}{6}$

Respuesta: A

Conceptos:trigonometría

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

$\cos x = 0$ significa que $x$ es un múltiplo impar de $\tfrac{\pi}{2}$ .

$\cos x = 0$ means $x$ is an odd multiple of $\tfrac{\pi}{2}$

Pista grande:

$\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}$ significa que $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3};$ minimiza $z = (x+z) - x$ .

$\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}$ means $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3};$ minimize $z = (x+z) - x$

Solución:

Como $\cos x = 0,$ tenemos $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi.$ Como $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2},$ tenemos $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3}.$

En el círculo unitario, la menor separación angular positiva entre un múltiplo impar de $\tfrac{\pi}{2}$ y un ángulo congruente con $\pm\tfrac{\pi}{3}$ es $\tfrac{\pi}{6}.$ Se alcanza tomando $x = -\tfrac{\pi}{2}$ y $x + z = -\tfrac{\pi}{3},$ lo que da $z = -\tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $\cos x = 0,$ we have $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi.$ Since $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2},$ we have $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3}.$

On the unit circle, the smallest positive angular separation between an odd multiple of $\tfrac{\pi}{2}$ and an angle congruent to $\pm\tfrac{\pi}{3}$ is $\tfrac{\pi}{6}.$ It is attained by taking $x = -\tfrac{\pi}{2}$ and $x + z = -\tfrac{\pi}{3},$ which gives $z = -\tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{6}.$

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 12A Problema 15

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años