Question

Supón que $\cos x = 0$ y $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}.$ ¿Cuál es el menor valor positivo posible de $z$ ?

Suppose $\cos x = 0$ and $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}.$ What is the smallest possible positive value of $z?$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{5\pi}{6}$

$\dfrac{7\pi}{6}$

Solución:

Como $\cos x = 0,$ tenemos $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi.$ Como $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2},$ tenemos $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3}.$

Tomando $x = -\tfrac{\pi}{2}$ y $x + z = -\tfrac{\pi}{3}$ se obtiene $z = -\tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{6},$ el menor valor positivo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $\cos x = 0,$ we have $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi.$ Since $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2},$ we have $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3}.$

Taking $x = -\tfrac{\pi}{2}$ and $x + z = -\tfrac{\pi}{3}$ gives $z = -\tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{6},$ the smallest positive value.

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 12A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años