Question

Si $a$ y $b$ son enteros tales que $x^2-x-1$ es un factor de $ax^3+bx^2+1,$ entonces $b$ es

If $a$ and $b$ are integers such that $x^2-x-1$ is a factor of $ax^3+bx^2+1,$ then $b$ is

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

Respuesta: A

Conceptos:polynomial divisibility modular reduction coefficient comparison

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Reduce las potencias usando $x^2\equiv x+1$

Reduce powers using $x^2\equiv x+1$

Pista grande:

Un polinomio de grado menor que $2$ divisible por el cuadrático debe ser cero

A polynomial of degree below $2$ divisible by the quadratic must be zero

Solución:

Módulo $x^2-x-1,$ tenemos $x^2\equiv x+1$ y $x^3\equiv2x+1.$ Así, el polinomio es congruente con $(2a+b)x+(a+b+1).$ Ambos coeficientes deben anularse, de modo que $2a+b=0$ y $a+b=-1.$ Por tanto, $a=1$ y $b=-2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Modulo $x^2-x-1,$ we have $x^2\equiv x+1$ and $x^3\equiv2x+1.$ Thus the polynomial is congruent to $(2a+b)x+(a+b+1).$ Both coefficients must vanish, so $2a+b=0$ and $a+b=-1.$ Hence $a=1$ and $b=-2.$

Thus the correct answer is A.

1988 AMC 12 Problema 15

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años