Question

Sea $P$ el producto de tres enteros positivos impares consecutivos cualesquiera. El mayor entero que divide a todos esos valores de $P$ es:

Let $P$ be the product of any three consecutive positive odd integers. The largest integer dividing all such $P$ is:

$15$

$6$

$5$

$3$

$1$

Respuesta: D

Conceptos:divisibilidad máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Examina los residuos módulo $3$ de tres enteros impares consecutivos

Among three consecutive odd integers, inspect residues modulo $3$

Pista grande:

Usa dos ejemplos para descartar cualquier divisor común mayor

Use two examples to rule out every larger common divisor

Solución:

Tres enteros impares consecutivos ocupan tres residuos consecutivos módulo $3,$ de modo que uno es divisible entre $3.$ Por tanto, todo producto es divisible entre $3.$ Los productos $1\cdot3\cdot5=15$ y $7\cdot9\cdot11=693$ tienen máximo común divisor $3,$ así que ningún entero mayor divide siempre al producto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Three consecutive odd integers occupy three consecutive residues modulo $3,$ so one is divisible by $3.$ Thus every product is divisible by $3.$ The products $1\cdot3\cdot5=15$ and $7\cdot9\cdot11=693$ have greatest common divisor $3,$ so no larger integer always divides the product.

Therefore, the correct answer is D.

1968 AMC 12 Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años