Question

En un círculo de centro $O$ y radio $r,$ se traza la cuerda $AB$ de longitud $r$ . Desde $O$ , una perpendicular a $AB$ corta a $AB$ en $M.$ Desde $M$ , una perpendicular a $OA$ corta a $OA$ en $D.$ En términos de $r,$ el área del triángulo $MDA,$ en unidades cuadradas, es:

In a circle with center at $O$ and radius $r,$ chord $AB$ is drawn with length equal to $r$ units. From $O$ a perpendicular to $AB$ meets $AB$ at $M.$ From $M$ a perpendicular to $OA$ meets $OA$ at $D.$ In terms of $r,$ the area of triangle $MDA,$ in appropriate square units, is:

$\dfrac{3r^2}{16}$

$\dfrac{\pi r^2}{16}$

$\dfrac{\pi r^2\sqrt2}{8}$

$\dfrac{r^2\sqrt3}{32}$

$\dfrac{r^2\sqrt6}{48}$

Respuesta: D

Conceptos:cuerda triángulo equilátero triángulo rectángulo especial área del triángulo

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Como $OA=OB=AB=r,$ el triángulo $OAB$ es equilátero

Because $OA=OB=AB=r,$ triangle $OAB$ is equilateral

Pista grande:

Usa los dos triángulos $30$ - $60$ - $90$ para hallar $AD$ y $MD$

Use the two $30$ - $60$ - $90$ triangles to find $AD$ and $MD$

Solución:

El triángulo $OAB$ es equilátero. Como $OM\perp AB,$ $M$ es el punto medio de $AB,$ de modo que $AM=\frac{r}{2}$ y $\angle OAM=60^\circ.$ En el triángulo rectángulo $AMD,$ la hipotenusa es $AM=\frac{r}{2},$ lo que da $AD=\frac r4,\qquad MD=\frac{r\sqrt3}{4}.$ Por ello, $\begin{aligned} [MDA]&=\frac12(AD)(MD)\\ &=\frac{r^2\sqrt3}{32}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Triangle $OAB$ is equilateral. Since $OM\perp AB,$ $M$ is the midpoint of $AB,$ so $AM=\frac{r}{2}$ and $\angle OAM=60^\circ.$ In right triangle $AMD,$ the hypotenuse is $AM=\frac{r}{2},$ giving $AD=\frac r4,\qquad MD=\frac{r\sqrt3}{4}.$ Hence $\begin{aligned} [MDA]&=\frac12(AD)(MD)\\ &=\frac{r^2\sqrt3}{32}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

1969 AMC 12 Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años