Question

Sea $\lfloor z\rfloor$ el mayor entero que no excede a $z.$ Sean $x$ y $y$ soluciones del sistema $\begin{aligned} y&=2\lfloor x\rfloor+3,\\ y&=3\lfloor x-2\rfloor+5. \end{aligned}$ Si $x$ no es un entero, entonces $x+y$ es

Let $\lfloor z\rfloor$ denote the greatest integer not exceeding $z.$ Let $x$ and $y$ satisfy the simultaneous equations $\begin{aligned} y&=2\lfloor x\rfloor+3,\\ y&=3\lfloor x-2\rfloor+5. \end{aligned}$ If $x$ is not an integer, then $x+y$ is

un entero

an integer

un número entre $4$ y $5$

between $4$ and $5$

un número entre $-4$ y $4$

between $-4$ and $4$

un número entre $15$ y $16$

between $15$ and $16$

$16.5$

Respuesta: D

Conceptos:funciones piso y techo sistema de ecuaciones desigualdad

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Para $x$ no entero, relaciona $\lfloor x-2\rfloor$ con $\lfloor x\rfloor$

For nonintegral $x,$ relate $\lfloor x-2\rfloor$ to $\lfloor x\rfloor$

Pista grande:

Sea $n=\lfloor x\rfloor$ e iguala las dos fórmulas de $y$

Let $n=\lfloor x\rfloor$ and equate the two formulas for $y$

Solución:

Para $x$ no entero, sea $n=\lfloor x\rfloor;$ entonces $\lfloor x-2\rfloor=n-2.$ Por tanto, $2n+3=3(n-2)+5,$ de donde $n=4$ y $y=11.$ Como $4\lt x\lt5,$ se tiene $15\lt x+y\lt16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For nonintegral $x,$ let $n=\lfloor x\rfloor;$ then $\lfloor x-2\rfloor=n-2.$ Thus $2n+3=3(n-2)+5,$ so $n=4$ and $y=11.$ Since $4\lt x\lt5,$ we have $15\lt x+y\lt16.$

Therefore, the correct answer is D.

1982 AMC 12 Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años