1984 AMC 12 Problema 15

Intenta el Problema 15 del 1984 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1984 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Si $\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,$ entonces un valor posible de $x$ es

If $\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,$ then one value for $x$ is

$18^\circ$

$30^\circ$

$36^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

Respuesta: A

Conceptos:identidad trigonométrica suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pasa todos los términos a un lado y reconoce una identidad del coseno de una suma

Move all terms to one side and recognize a cosine addition identity

Pista grande:

Usa $\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x$ $=\cos5x$

Use $\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x$ $=\cos5x$

Solución:

La ecuación equivale a $\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0. \end{aligned}$ Por lo tanto, $5x=90^\circ+180^\circ k.$ Al tomar $k=0$ se obtiene $x=18^\circ,$ el valor que aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation is equivalent to $\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0. \end{aligned}$ Therefore $5x=90^\circ+180^\circ k.$ Taking $k=0$ gives $x=18^\circ,$ the listed value.

Therefore, the correct answer is A.

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