Question

Un estudiante intentó calcular el promedio $A$ de $x,$ $y$ y $z$ calculando primero el promedio de $x$ y $y,$ y luego el promedio del resultado y $z.$ Siempre que $x\lt y\lt z,$ el resultado final del estudiante es

A student attempted to compute the average, $A,$ of $x,$ $y$ and $z$ by computing the average of $x$ and $y,$ and then computing the average of the result and $z.$ Whenever $x\lt y\lt z,$ the student’s final result is

correcto

correct

siempre menor que $A$

always less than $A$

siempre mayor que $A$

always greater than $A$

a veces menor que $A$ y a veces igual a $A$

sometimes less than $A$ and sometimes equal to $A$

a veces mayor que $A$ y a veces igual a $A$

sometimes greater than $A$ and sometimes equal to $A$

Respuesta: C

Conceptos:average desigualdad algebraic comparison

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Escribe como expresiones algebraicas tanto el promedio verdadero como el resultado del estudiante

Write both the true average and the student’s result as algebraic expressions

Pista grande:

Resta el promedio verdadero y usa el orden $x\lt y\lt z$ para determinar el signo

Subtract the true average and use the order $x\lt y\lt z$ to determine the sign

Solución:

El resultado del estudiante es $\frac{x+y+2z}{4},$ mientras que el promedio verdadero es $\frac{x+y+z}{3}.$ Su diferencia es $\begin{aligned} &\frac{x+y+2z}{4}-\frac{x+y+z}{3}\\ &\qquad=\frac{2z-x-y}{12}. \end{aligned}$ Como $z\gt x$ y $z\gt y,$ el numerador es positivo. Por tanto, el resultado del estudiante es siempre mayor que $A.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The student’s result is $\frac{x+y+2z}{4},$ while the true average is $\frac{x+y+z}{3}.$ Their difference is $\begin{aligned} &\frac{x+y+2z}{4}-\frac{x+y+z}{3}\\ &\qquad=\frac{2z-x-y}{12}. \end{aligned}$ Since $z\gt x$ and $z\gt y,$ the numerator is positive. The student’s result is therefore always greater than $A.$

Thus the correct answer is C.

1986 AMC 12 Problema 15

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años