Question

Sea $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ ¿Cuál es el dígito de las unidades de $k^2 + 2^k$ ?

Let $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ What is the units digit of $k^2 + 2^k?$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Respuesta: D

Conceptos:dígito de las unidades exponenciación modular

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

El dígito de las unidades de $2^n$ recorre $2, 4, 8, 6$ con período $4$ .

The units digit of $2^n$ cycles $2, 4, 8, 6$ with period $4$

Pista grande:

Halla primero el dígito de las unidades de $k$ , luego observa que $k$ es un múltiplo de $4$ .

Find the units digit of $k$ first, then note that $k$ is a multiple of $4$

Solución:

El dígito de las unidades de $2008^2$ es $4.$ Como $2008$ es un múltiplo de $4,$ el dígito de las unidades de $2^{2008}$ es $6.$ Así $k$ tiene dígito de las unidades $0,$ y también lo tiene $k^2.$

Tanto $2008^2$ como $2^{2008}$ son múltiplos de $4,$ así que $k$ es un múltiplo de $4.$ Por lo tanto el dígito de las unidades de $2^k$ es $6.$

El dígito de las unidades de $k^2 + 2^k$ es entonces $0 + 6 = 6.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The units digit of $2008^2$ is $4.$ Since $2008$ is a multiple of $4,$ the units digit of $2^{2008}$ is $6.$ Thus $k$ has units digit $0,$ and so does $k^2.$

Both $2008^2$ and $2^{2008}$ are multiples of $4,$ so $k$ is a multiple of $4.$ Therefore the units digit of $2^k$ is $6.$

The units digit of $k^2 + 2^k$ is then $0 + 6 = 6.$

Thus, D is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años