Soluciones del 2008 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El dueño de una panadería enciende su máquina de rosquillas a las $8\!:\!30$ de la mañana. A las $11\!:\!10$ de la mañana la máquina ha completado un tercio del trabajo del día. ¿A qué hora terminará la máquina de rosquillas el trabajo?

A bakery owner turns on his doughnut machine at $8\!:\!30$ am. At $11\!:\!10$ am the machine has completed one third of the day's job. At what time will the doughnut machine complete the job?

$1\!:\!50$ de la tarde

$1\!:\!50$ pm

$3\!:\!00$ de la tarde

$3\!:\!00$ pm

$3\!:\!30$ de la tarde

$3\!:\!30$ pm

$4\!:\!30$ de la tarde

$4\!:\!30$ pm

$5\!:\!50$ de la tarde

$5\!:\!50$ pm

Conceptos:razón y proporción fecha y hora

Nivel de dificultad: 800

Solución:

Desde las $8\!:\!30$ de la mañana hasta las $11\!:\!10$ de la mañana hay $2$ horas $40$ minutos, es decir, $160$ minutos, para completar un tercio del trabajo.

Entonces el trabajo completo toma $3 \cdot 160 = 480$ minutos, es decir, $8$ horas. Sumar $8$ horas a las $8\!:\!30$ de la mañana da las $4\!:\!30$ de la tarde.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

From $8\!:\!30$ am to $11\!:\!10$ am is $2$ hours $40$ minutes, or $160$ minutes, to complete one third of the job.

The whole job then takes $3 \cdot 160 = 480$ minutes, or $8$ hours. Adding $8$ hours to $8\!:\!30$ am gives $4\!:\!30$ pm.

Thus, D is the correct answer.

2.

¿Cuál es el recíproco de $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}$ ?

What is the reciprocal of $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}?$

$\dfrac{6}{7}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{5}{3}$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 910

Solución:

Usando un común denominador, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{7}{6}.$

El recíproco de $\dfrac{7}{6}$ es $\dfrac{6}{7}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Using a common denominator, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{7}{6}.$

The reciprocal of $\dfrac{7}{6}$ is $\dfrac{6}{7}.$

Thus, A is the correct answer.

3.

Supongamos que $\tfrac{2}{3}$ de $10$ plátanos valen tanto como $8$ naranjas. ¿Cuántas naranjas valen tanto como $\tfrac{1}{2}$ de $5$ plátanos?

Suppose that $\tfrac{2}{3}$ of $10$ bananas are worth as much as $8$ oranges. How many oranges are worth as much as $\tfrac{1}{2}$ of $5$ bananas?

$2$

$\dfrac{5}{2}$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

Como $\tfrac{2}{3}$ de $10$ plátanos son $\tfrac{20}{3}$ plátanos, que valen $8$ naranjas, un plátano vale $8 \div \dfrac{20}{3} = \dfrac{24}{20} = \dfrac{6}{5}$ naranjas.

Entonces $\tfrac{1}{2}$ de $5$ plátanos son $\tfrac{5}{2}$ plátanos, que valen $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{6}{5} = 3$ naranjas.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $\tfrac{2}{3}$ of $10$ bananas is $\tfrac{20}{3}$ bananas, worth $8$ oranges, one banana is worth $8 \div \dfrac{20}{3} = \dfrac{24}{20} = \dfrac{6}{5}$ oranges.

Then $\tfrac{1}{2}$ of $5$ bananas is $\tfrac{5}{2}$ bananas, worth $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{6}{5} = 3$ oranges.

Thus, C is the correct answer.

4.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual al producto $\begin{aligned} &\dfrac{8}{4} \cdot \dfrac{12}{8} \cdot \dfrac{16}{12} \\ &\quad \cdots \dfrac{4n + 4}{4n} \cdots \dfrac{2008}{2004} \end{aligned}$ ?

Which of the following is equal to the product $\begin{aligned} &\dfrac{8}{4} \cdot \dfrac{12}{8} \cdot \dfrac{16}{12} \\ &\quad \cdots \dfrac{4n + 4}{4n} \cdots \dfrac{2008}{2004}? \end{aligned}$

$251$

$502$

$1004$

$2008$

$4016$

Conceptos:telescópica

Nivel de dificultad: 1180

Solución:

Todo denominador salvo el primero se cancela con el numerador de la fracción precedente, así que el producto se reduce a $\dfrac{2008}{4} = 502.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Every denominator except the first cancels with the numerator of the preceding fraction, so the product collapses to $\dfrac{2008}{4} = 502.$

Thus, B is the correct answer.

5.

Supongamos que $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$ es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera acerca de $x$ ?

Suppose that $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$ is an integer. Which of the following statements must be true about $x?$

Es negativo.

It is negative.

Es par, pero no necesariamente un múltiplo de $3.$

It is even, but not necessarily a multiple of $3.$

Es un múltiplo de $3,$ pero no necesariamente par.

It is a multiple of $3,$ but not necessarily even.

Es un múltiplo de $6,$ pero no necesariamente un múltiplo de $12.$

It is a multiple of $6,$ but not necessarily a multiple of $12.$

Es un múltiplo de $12.$

It is a multiple of $12.$

Conceptos:manipulación algebraica paridad

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

Combinando las fracciones, $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.$

Esto es un entero exactamente cuando $x$ es par. El ejemplo $x = 4$ es par pero no un múltiplo de $3,$ lo que descarta toda otra afirmación.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Combining the fractions, $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.$

This is an integer exactly when $x$ is even. The example $x = 4$ is even but not a multiple of $3,$ which rules out every other statement.

Thus, B is the correct answer.

6.

Heather compara el precio de una computadora nueva en dos tiendas diferentes. La tienda A ofrece $15\%$ de descuento sobre el precio de lista seguido de un reembolso de noventa dólares, y la tienda B ofrece $25\%$ de descuento sobre el mismo precio de lista sin reembolso. Heather ahorra quince dólares comprando la computadora en la tienda A en lugar de la tienda B. ¿Cuál es el precio de lista de la computadora, en dólares?

Heather compares the price of a new computer at two different stores. Store A offers $15\%$ off the sticker price followed by a $90 rebate, and store B offers $25\%$ off the same sticker price with no rebate. Heather saves $15 by buying the computer at store A instead of store B. What is the sticker price of the computer, in dollars?

$750$

$900$

$1000$

$1050$

$1500$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Sea $x$ el precio de lista en dólares. La tienda A cobra $0.85x - 90$ dólares, y la tienda B cobra $0.75x$ dólares.

Como la tienda A es $15$ dólares más barata, $0.85x - 90 = 0.75x - 15,$ así que $0.10x = 75$ y $x = 750.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $x$ be the sticker price in dollars. Store A charges $0.85x - 90$ dollars, and store B charges $0.75x$ dollars.

Since store A is $15$ dollars cheaper, $0.85x - 90 = 0.75x - 15,$ so $0.10x = 75$ and $x = 750.$

Thus, A is the correct answer.

7.

Mientras Steve y LeRoy pescan a $1$ milla de la orilla, su bote comienza a hacer agua, y el agua entra a una tasa constante de $10$ galones por minuto. El bote se hundirá si entran más de $30$ galones de agua. Steve comienza a remar hacia la orilla a una tasa constante de $4$ millas por hora mientras LeRoy achica agua del bote. ¿Cuál es la tasa más lenta, en galones por minuto, a la que LeRoy puede achicar si quieren llegar a la orilla sin hundirse?

While Steve and LeRoy are fishing $1$ mile from shore, their boat springs a leak, and water comes in at a constant rate of $10$ gallons per minute. The boat will sink if it takes in more than $30$ gallons of water. Steve starts rowing toward the shore at a constant rate of $4$ miles per hour while LeRoy bails water out of the boat. What is the slowest rate, in gallons per minute, at which LeRoy can bail if they are to reach the shore without sinking?

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Remar $1$ milla a $4$ millas por hora toma $\tfrac{1}{4}$ de hora, es decir, $15$ minutos. En ese tiempo entran $15 \cdot 10 = 150$ galones de agua al bote.

Como a lo sumo pueden quedar $30$ galones, LeRoy debe achicar $150 - 30 = 120$ galones en $15$ minutos, una tasa de $\dfrac{120}{15} = 8$ galones por minuto.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Rowing $1$ mile at $4$ miles per hour takes $\tfrac{1}{4}$ hour, or $15$ minutes. In that time $15 \cdot 10 = 150$ gallons of water enter the boat.

Since at most $30$ gallons may remain, LeRoy must bail $150 - 30 = 120$ gallons in $15$ minutes, a rate of $\dfrac{120}{15} = 8$ gallons per minute.

Thus, D is the correct answer.

8.

¿Cuál es el volumen de un cubo cuya área superficial es el doble de la de un cubo de volumen $1$ ?

What is the volume of a cube whose surface area is twice that of a cube with volume $1?$

$\sqrt{2}$

$2$

$2\sqrt{2}$

$4$

$8$

Conceptos:geometría del cubo área de superficie volumen

Nivel de dificultad: 1380

Solución:

El cubo de volumen $1$ tiene lado $1$ y área superficial $6.$ El cubo más grande tiene área superficial $12,$ así que si su lado es $s,$ entonces $6s^2 = 12,$ lo que da $s = \sqrt{2}.$

Su volumen es $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The cube with volume $1$ has side $1$ and surface area $6.$ The larger cube has surface area $12,$ so if its side is $s,$ then $6s^2 = 12,$ giving $s = \sqrt{2}.$

Its volume is $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}.$

Thus, C is the correct answer.

9.

Las pantallas de televisión más antiguas tienen una relación de aspecto de $4:3.$ Es decir, la razón entre el ancho y la altura es $4:3.$ La relación de aspecto de muchas películas no es $4:3,$ por lo que a veces se muestran en una pantalla de televisión mediante el "formato de buzón", oscureciendo franjas de igual altura en la parte superior e inferior de la pantalla, como se muestra. Supongamos que una película tiene una relación de aspecto de $2:1$ y se muestra en una pantalla de televisión antigua con una diagonal de $27$ pulgadas. ¿Cuál es la altura, en pulgadas, de cada franja oscurecida?

Older television screens have an aspect ratio of $4:3.$ That is, the ratio of the width to the height is $4:3.$ The aspect ratio of many movies is not $4:3,$ so they are sometimes shown on a television screen by "letterboxing" — darkening strips of equal height at the top and bottom of the screen, as shown. Suppose a movie has an aspect ratio of $2:1$ and is shown on an older television screen with a $27$ -inch diagonal. What is the height, in inches, of each darkened strip?

$2$

$2.25$

$2.5$

$2.7$

$3$

Conceptos:Terna pitagórica razón y proporción

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

Como los lados y la diagonal están en razón $3:4:5,$ la altura es $\tfrac{3}{5} \cdot 27 = 16.2$ pulgadas y el ancho es $\tfrac{4}{5} \cdot 27 = 21.6$ pulgadas.

La película tiene relación de aspecto $2:1,$ así que su altura es $\tfrac{21.6}{2} = 10.8$ pulgadas.

Por lo tanto, cada franja oscurecida tiene altura $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7$ pulgadas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since the sides and diagonal are in ratio $3:4:5,$ the height is $\tfrac{3}{5} \cdot 27 = 16.2$ inches and the width is $\tfrac{4}{5} \cdot 27 = 21.6$ inches.

The movie has aspect ratio $2:1,$ so its height is $\tfrac{21.6}{2} = 10.8$ inches.

Each darkened strip therefore has height $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7$ inches.

Thus, D is the correct answer.

10.

Doug puede pintar una habitación en $5$ horas. Dave puede pintar la misma habitación en $7$ horas. Doug y Dave pintan la habitación juntos y toman un descanso de una hora para almorzar. Sea $t$ el tiempo total, en horas, que necesitan para completar el trabajo trabajando juntos, incluyendo el almuerzo. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones satisface $t$ ?

Doug can paint a room in $5$ hours. Dave can paint the same room in $7$ hours. Doug and Dave paint the room together and take a one-hour break for lunch. Let $t$ be the total time, in hours, required for them to complete the job working together, including lunch. Which of the following equations is satisfied by $t?$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t + 1) = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)t + 1 = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)t = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1$

$(5 + 7)t = 1$

Conceptos:tasa ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1380

Solución:

En una hora Doug pinta $\tfrac{1}{5}$ de la habitación y Dave pinta $\tfrac{1}{7},$ así que juntos pintan $\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7}$ de la habitación por hora.

Del tiempo total $t,$ una hora se dedica al almuerzo, así que trabajan durante $t - 1$ horas. La fracción pintada debe ser igual a $1,$ lo que da $\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

In one hour Doug paints $\tfrac{1}{5}$ of the room and Dave paints $\tfrac{1}{7},$ so together they paint $\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7}$ of the room per hour.

Of the total time $t,$ one hour is spent at lunch, so they work for $t - 1$ hours. The fraction painted must equal $1,$ giving $\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1.$

Thus, D is the correct answer.

11.

Tres cubos se forman cada uno a partir del patrón mostrado. Luego se apilan sobre una mesa uno encima de otro de modo que los $13$ números visibles tengan la mayor suma posible. ¿Cuál es esa suma?

Three cubes are each formed from the pattern shown. They are then stacked on a table one on top of another so that the $13$ visible numbers have the greatest possible sum. What is that sum?

$154$

$159$

$164$

$167$

$189$

Conceptos:geometría del cubo optimización

Nivel de dificultad: 1560

Solución:

Las seis caras de cada cubo suman $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63.$ Del patrón, los pares de caras opuestas son $1$ y $32,$ $2$ y $16,$ y $4$ y $8.$

Cada uno de los dos cubos inferiores oculta un par de caras opuestas (arriba y abajo); ocultar el par $4 + 8 = 12$ es lo mejor. El cubo superior oculta solo su cara inferior, así que se oculta el $1.$

La mayor suma es $\begin{aligned} &3 \cdot 63 - 2 \cdot 12 - 1 \\ &= 189 - 24 - 1 \\ &= 164. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The six faces of each cube sum to $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63.$ From the pattern, the pairs of opposite faces are $1$ & $32,$ $2$ & $16,$ and $4$ & $8.$

Each of the two lower cubes hides a pair of opposite faces (top and bottom); hiding the pair $4 + 8 = 12$ is best. The top cube hides only its bottom face, so hide the $1.$

The greatest sum is $\begin{aligned} &3 \cdot 63 - 2 \cdot 12 - 1 \\ &= 189 - 24 - 1 \\ &= 164. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

12.

Una función $f$ tiene dominio $[0, 2]$ y rango $[0, 1].$ (La notación $[a, b]$ denota $\{x : a \le x \le b\}.$ ) ¿Cuáles son el dominio y el rango, respectivamente, de la función $g$ definida por $g(x) = 1 - f(x + 1)$ ?

A function $f$ has domain $[0, 2]$ and range $[0, 1].$ (The notation $[a, b]$ denotes $\{x : a \le x \le b\}.$ ) What are the domain and range, respectively, of the function $g$ defined by $g(x) = 1 - f(x + 1)?$

$[-1, 1], [-1, 0]$

$[-1, 1], [0, 1]$

$[0, 2], [-1, 0]$

$[1, 3], [-1, 0]$

$[1, 3], [0, 1]$

Conceptos:función

Nivel de dificultad: 1620

Solución:

El valor $f(x + 1)$ está definido cuando $0 \le x + 1 \le 2,$ es decir, $-1 \le x \le 1,$ así que el dominio de $g$ es $[-1, 1].$

Cuando $f(x + 1)$ recorre $[0, 1],$ el valor $1 - f(x + 1)$ recorre $[0, 1]$ también, así que el rango de $g$ es $[0, 1].$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The value $f(x + 1)$ is defined when $0 \le x + 1 \le 2,$ that is, $-1 \le x \le 1,$ so the domain of $g$ is $[-1, 1].$

As $f(x + 1)$ ranges over $[0, 1],$ the value $1 - f(x + 1)$ ranges over $[0, 1]$ as well, so the range of $g$ is $[0, 1].$

Thus, B is the correct answer.

13.

Los puntos $A$ y $B$ están en un círculo centrado en $O,$ y $\angle AOB = 60^\circ.$ Un segundo círculo es tangente internamente al primero y tangente a $OA$ y $OB.$ ¿Cuál es la razón entre el área del círculo menor y la del círculo mayor?

Points $A$ and $B$ lie on a circle centered at $O,$ and $\angle AOB = 60^\circ.$ A second circle is internally tangent to the first and tangent to both $OA$ and $OB.$ What is the ratio of the area of the smaller circle to that of the larger circle?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:circunferencias tangentes triángulo rectángulo especial razón de áreas

Nivel de dificultad: 1620

Solución:

Sean $r$ y $R$ los radios de los círculos menor y mayor, y sea $E$ el centro del círculo menor. Por simetría $E$ está en la bisectriz de $\angle AOB,$ así que $OE$ forma un ángulo de $30^\circ$ con $OA.$

Trazar el radio $ED$ perpendicular a $OA$ da un triángulo $30$ - $60$ - $90$ con $OE = 2 \cdot ED = 2r.$ Como los círculos son tangentes internamente, $OE = R - r.$

Entonces $R - r = 2r,$ así que $R = 3r$ y $\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}.$ La razón de áreas es $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $r$ and $R$ be the radii of the smaller and larger circles, and let $E$ be the center of the smaller circle. By symmetry $E$ lies on the bisector of $\angle AOB,$ so $OE$ makes a $30^\circ$ angle with $OA.$

Dropping the radius $ED$ perpendicular to $OA$ gives a $30$ - $60$ - $90$ triangle with $OE = 2 \cdot ED = 2r.$ Since the circles are internally tangent, $OE = R - r.$

Then $R - r = 2r,$ so $R = 3r$ and $\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}.$ The ratio of areas is $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Thus, B is the correct answer.

14.

¿Cuál es el área de la región definida por la desigualdad $|3x - 18| + |2y + 7| \le 3$ ?

What is the area of the region defined by the inequality $|3x - 18| + |2y + 7| \le 3?$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

$\dfrac{9}{2}$

$5$

Conceptos:valor absoluto rombo área

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

La región es un rombo centrado en $\left(6, -\tfrac{7}{2}\right).$ Poner $2y + 7 = 0$ da $|3x - 18| \le 3,$ así que $x \in [5, 7],$ una diagonal horizontal de longitud $2.$

Poner $3x - 18 = 0$ da $|2y + 7| \le 3,$ así que $y \in [-5, -2],$ una diagonal vertical de longitud $3.$

El área del rombo es la mitad del producto de sus diagonales, $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The region is a rhombus centered at $\left(6, -\tfrac{7}{2}\right).$ Setting $2y + 7 = 0$ gives $|3x - 18| \le 3,$ so $x \in [5, 7],$ a horizontal diagonal of length $2.$

Setting $3x - 18 = 0$ gives $|2y + 7| \le 3,$ so $y \in [-5, -2],$ a vertical diagonal of length $3.$

The area of the rhombus is half the product of its diagonals, $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3.$

Thus, A is the correct answer.

15.

Sea $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ ¿Cuál es el dígito de las unidades de $k^2 + 2^k$ ?

Let $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ What is the units digit of $k^2 + 2^k?$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:dígito de las unidades exponenciación modular

Nivel de dificultad: 1740

Solución:

El dígito de las unidades de $2008^2$ es $4.$ Como $2008$ es un múltiplo de $4,$ el dígito de las unidades de $2^{2008}$ es $6.$ Así $k$ tiene dígito de las unidades $0,$ y también lo tiene $k^2.$

Tanto $2008^2$ como $2^{2008}$ son múltiplos de $4,$ así que $k$ es un múltiplo de $4.$ Por lo tanto el dígito de las unidades de $2^k$ es $6.$

El dígito de las unidades de $k^2 + 2^k$ es entonces $0 + 6 = 6.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The units digit of $2008^2$ is $4.$ Since $2008$ is a multiple of $4,$ the units digit of $2^{2008}$ is $6.$ Thus $k$ has units digit $0,$ and so does $k^2.$

Both $2008^2$ and $2^{2008}$ are multiples of $4,$ so $k$ is a multiple of $4.$ Therefore the units digit of $2^k$ is $6.$

The units digit of $k^2 + 2^k$ is then $0 + 6 = 6.$

Thus, D is the correct answer.

16.

Los números $\log(a^3 b^7),$ $\log(a^5 b^{12}),$ y $\log(a^8 b^{15})$ son los primeros tres términos de una sucesión aritmética, y el $12$ o término de la sucesión es $\log(b^n).$ ¿Cuánto vale $n$ ?

The numbers $\log(a^3 b^7),$ $\log(a^5 b^{12}),$ and $\log(a^8 b^{15})$ are the first three terms of an arithmetic sequence, and the $12$ th term of the sequence is $\log(b^n).$ What is $n?$

$40$

$56$

$76$

$112$

$143$

Conceptos:sucesión aritmética logaritmo

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Los tres términos son $3\log a + 7\log b,$ $5\log a + 12\log b,$ y $8\log a + 15\log b.$ Igualando las dos diferencias consecutivas, $\begin{aligned} &2\log a + 5\log b \\ &= 3\log a + 3\log b, \end{aligned}$ así que $\log a = 2\log b.$

El primer término es entonces $(3 \cdot 2 + 7)\log b = 13\log b,$ y la diferencia común es $(2 \cdot 2 + 5)\log b = 9\log b.$

El $12$ o término es $\begin{aligned} (13 + 11 \cdot 9)\log b &= 112\log b \\ &= \log(b^{112}), \end{aligned}$ así que $n = 112.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The three terms are $3\log a + 7\log b,$ $5\log a + 12\log b,$ and $8\log a + 15\log b.$ Setting the two consecutive differences equal, $\begin{aligned} &2\log a + 5\log b \\ &= 3\log a + 3\log b, \end{aligned}$ so $\log a = 2\log b.$

The first term is then $(3 \cdot 2 + 7)\log b = 13\log b,$ and the common difference is $(2 \cdot 2 + 5)\log b = 9\log b.$

The $12$ th term is $\begin{aligned} (13 + 11 \cdot 9)\log b &= 112\log b \\ &= \log(b^{112}), \end{aligned}$ so $n = 112.$

Thus, D is the correct answer.

17.

Sea $a_1, a_2, \ldots$ una sucesión de enteros determinada por la regla $a_n = a_{n-1}/2$ si $a_{n-1}$ es par y $a_n = 3a_{n-1} + 1$ si $a_{n-1}$ es impar. ¿Para cuántos enteros positivos $a_1 \le 2008$ es cierto que $a_1$ es menor que cada uno de $a_2, a_3,$ y $a_4$ ?

Let $a_1, a_2, \ldots$ be a sequence of integers determined by the rule $a_n = a_{n-1}/2$ if $a_{n-1}$ is even and $a_n = 3a_{n-1} + 1$ if $a_{n-1}$ is odd. For how many positive integers $a_1 \le 2008$ is it true that $a_1$ is less than each of $a_2, a_3,$ and $a_4?$

$250$

$251$

$501$

$502$

$1004$

Conceptos:recursión aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1870

Solución:

Si $a_1$ es par, entonces $a_2 = a_1/2 \lt a_1,$ así que la condición falla.

Si $a_1 \equiv 1 \pmod 4,$ entonces $a_2 = 3a_1 + 1$ es un múltiplo de $4,$ así que $a_3 = (3a_1 + 1)/2$ y $a_4 = (3a_1 + 1)/4 \le a_1,$ y de nuevo la condición falla.

Si $a_1 \equiv 3 \pmod 4,$ entonces $a_2$ es par pero no un múltiplo de $4,$ así que $a_3 = (3a_1 + 1)/2 \gt a_1,$ y $a_3$ es impar, lo que da $a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1.$ La condición se cumple.

Exactamente $\tfrac{2008}{4} = 502$ valores de $a_1 \le 2008$ satisfacen $a_1 \equiv 3 \pmod 4.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

If $a_1$ is even, then $a_2 = a_1/2 \lt a_1,$ so the condition fails.

If $a_1 \equiv 1 \pmod 4,$ then $a_2 = 3a_1 + 1$ is a multiple of $4,$ so $a_3 = (3a_1 + 1)/2$ and $a_4 = (3a_1 + 1)/4 \le a_1,$ and again the condition fails.

If $a_1 \equiv 3 \pmod 4,$ then $a_2$ is even but not a multiple of $4,$ so $a_3 = (3a_1 + 1)/2 \gt a_1,$ and $a_3$ is odd, giving $a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1.$ The condition holds.

Exactly $\tfrac{2008}{4} = 502$ values of $a_1 \le 2008$ satisfy $a_1 \equiv 3 \pmod 4.$

Thus, D is the correct answer.

18.

El triángulo $ABC,$ con lados de longitud $5, 6,$ y $7,$ tiene un vértice en el eje $x$ positivo, uno en el eje $y$ positivo, y uno en el eje $z$ positivo. Sea $O$ el origen. ¿Cuál es el volumen del tetraedro $OABC$ ?

Triangle $ABC,$ with sides of length $5, 6,$ and $7,$ has one vertex on the positive $x$ -axis, one on the positive $y$ -axis, and one on the positive $z$ -axis. Let $O$ be the origin. What is the volume of tetrahedron $OABC?$

$\sqrt{85}$

$\sqrt{90}$

$\sqrt{95}$

$10$

$\sqrt{105}$

Conceptos:Geometría 3D sistema de ecuaciones volumen

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Sean $A = (a, 0, 0),$ $B = (0, b, 0),$ $C = (0, 0, c).$ Asignando los lados, $\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49. \end{aligned}$

Sumando se obtiene $a^2 + b^2 + c^2 = 55,$ así que $a^2 = 19,$ $b^2 = 6,$ y $c^2 = 30.$

El volumen es $\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95}. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $A = (a, 0, 0),$ $B = (0, b, 0),$ $C = (0, 0, c).$ Assigning the sides, $\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49. \end{aligned}$

Adding gives $a^2 + b^2 + c^2 = 55,$ so $a^2 = 19,$ $b^2 = 6,$ and $c^2 = 30.$

The volume is $\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95}. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

19.

En el desarrollo de $\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}$ ¿cuál es el coeficiente de $x^{28}$ ?

In the expansion of $\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}$ what is the coefficient of $x^{28}?$

$195$

$196$

$224$

$378$

$405$

Conceptos:funciones generatrices particiones y composiciones

Nivel de dificultad: 1930

Solución:

Cada término es $x^{a + b + c}$ con $0 \le a \le 27$ y $0 \le b, c \le 14.$ Para obtener $x^{28}$ necesitamos $a = 28 - b - c.$

Hay $(14 + 1)^2 = 225$ opciones para $(b, c).$ Para cada opción salvo $(b, c) = (0, 0),$ el valor requerido $a = 28 - b - c$ está en $[0, 27],$ dando un término válido.

El coeficiente de $x^{28}$ es por lo tanto $225 - 1 = 224.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Each term is $x^{a + b + c}$ with $0 \le a \le 27$ and $0 \le b, c \le 14.$ To get $x^{28}$ we need $a = 28 - b - c.$

There are $(14 + 1)^2 = 225$ choices for $(b, c).$ For every choice except $(b, c) = (0, 0),$ the required $a = 28 - b - c$ lies in $[0, 27],$ giving a valid term.

The coefficient of $x^{28}$ is therefore $225 - 1 = 224.$

Thus, C is the correct answer.

20.

El triángulo $ABC$ tiene $AC = 3,$ $BC = 4,$ y $AB = 5.$ El punto $D$ está en $AB,$ y $CD$ biseca el ángulo recto. Los círculos inscritos de $\triangle ADC$ y $\triangle BCD$ tienen radios $r_a$ y $r_b,$ respectivamente. ¿Cuánto vale $r_a/r_b$ ?

Triangle $ABC$ has $AC = 3,$ $BC = 4,$ and $AB = 5.$ Point $D$ is on $AB,$ and $CD$ bisects the right angle. The inscribed circles of $\triangle ADC$ and $\triangle BCD$ have radii $r_a$ and $r_b,$ respectively. What is $r_a/r_b?$

$\dfrac{1}{28}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{3}{56}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{1}{14}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{5}{56}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2})$

Conceptos:teorema de la bisectriz circunferencia inscrita, incentro e inradio razón de áreas

Nivel de dificultad: 2100

Solución:

Por el Teorema de la Bisectriz del Ángulo, $AD:DB = CA:CB = 3:4,$ así que $AD = \tfrac{15}{7}$ y $BD = \tfrac{20}{7}.$ Las áreas de $\triangle ADC$ y $\triangle BCD$ comparten la base $CD,$ así que están en razón $3:4,$ a saber $\tfrac{18}{7}$ y $\tfrac{24}{7}.$

Dividir $\triangle ABC$ a lo largo de $CD,$ que corta cada cateto a $45^\circ,$ da $\dfrac{3 \cdot CD}{2\sqrt{2}} + \dfrac{4 \cdot CD}{2\sqrt{2}} = 6,$ así que $CD = \tfrac{12\sqrt{2}}{7}.$

Usando $r = \text{area}/s$ con $s$ el semiperímetro, $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{[ADC]}{[BCD]} \cdot \dfrac{s_b}{s_a} \\ &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}, \end{aligned}$ donde los engorrosos términos $CD$ se cancelan tras factorizar.

Racionalizando, $\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7},$ así que $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7} \\ &= \dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2}). \end{aligned}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

By the Angle Bisector Theorem, $AD:DB = CA:CB = 3:4,$ so $AD = \tfrac{15}{7}$ and $BD = \tfrac{20}{7}.$ The areas of $\triangle ADC$ and $\triangle BCD$ share base $CD,$ so they are in ratio $3:4,$ namely $\tfrac{18}{7}$ and $\tfrac{24}{7}.$

Splitting $\triangle ABC$ along $CD,$ which meets each leg at $45^\circ,$ gives $\dfrac{3 \cdot CD}{2\sqrt{2}} + \dfrac{4 \cdot CD}{2\sqrt{2}} = 6,$ so $CD = \tfrac{12\sqrt{2}}{7}.$

Using $r = \text{area}/s$ with $s$ the semiperimeter, $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{[ADC]}{[BCD]} \cdot \dfrac{s_b}{s_a} \\ &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}, \end{aligned}$ where the messy $CD$ terms cancel after factoring.

Rationalizing, $\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7},$ so $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7} \\ &= \dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2}). \end{aligned}$

Thus, E is the correct answer.

21.

Una permutación $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ de $(1, 2, 3, 4, 5)$ es cola pesada si $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5.$ ¿Cuál es el número de permutaciones de cola pesada?

A permutation $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ of $(1, 2, 3, 4, 5)$ is heavy-tailed if $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5.$ What is the number of heavy-tailed permutations?

$36$

$40$

$44$

$48$

$52$

Conceptos:permutaciones simetría conteo complementario

Nivel de dificultad: 2050

Solución:

Llamemos equilibrada a una permutación si $a_1 + a_2 = a_4 + a_5.$ Invertir las entradas intercambia los dos casos estrictos, así que las permutaciones de cola pesada y las de cabeza pesada son igual de numerosas.

El total $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ es impar, así que en una permutación equilibrada $a_3$ debe ser impar, uno de $1, 3, 5.$ Para cada elección, los cuatro números restantes se dividen de manera única en dos pares de igual suma.

Cualquiera de los cuatro puede ser $a_1$ (fijando $a_2$ ), y cualquiera de los números restantes puede ser $a_4$ (fijando $a_5$ ), lo que da $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ permutaciones equilibradas.

Las otras $120 - 24 = 96$ permutaciones se dividen por igual, así que hay $\tfrac{96}{2} = 48$ permutaciones de cola pesada.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Call a permutation balanced if $a_1 + a_2 = a_4 + a_5.$ Reversing the entries swaps the two strict cases, so heavy-tailed and heavy-headed permutations are equally numerous.

The total $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ is odd, so in a balanced permutation $a_3$ must be odd, one of $1, 3, 5.$ For each choice, the remaining four numbers split uniquely into two equal-sum pairs.

Any of the four can be $a_1$ (fixing $a_2$ ), and either remaining number can be $a_4$ (fixing $a_5$ ), giving $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ balanced permutations.

The other $120 - 24 = 96$ permutations split evenly, so there are $\tfrac{96}{2} = 48$ heavy-tailed permutations.

Thus, D is the correct answer.

22.

Una mesa redonda tiene radio $4.$ Se colocan seis manteles individuales rectangulares sobre la mesa. Cada mantel tiene ancho $1$ y largo $x$ como se muestra. Se colocan de modo que cada mantel tenga dos esquinas en el borde de la mesa, siendo estas dos esquinas los extremos del mismo lado de largo $x.$ Además, los manteles se colocan de modo que las esquinas interiores toquen cada una una esquina interior de un mantel adyacente. ¿Cuánto vale $x$ ?

A round table has radius $4.$ Six rectangular place mats are placed on the table. Each place mat has width $1$ and length $x$ as shown. They are positioned so that each mat has two corners on the edge of the table, these two corners being endpoints of the same side of length $x.$ Further, the mats are positioned so that the inner corners each touch an inner corner of an adjacent mat. What is $x?$

$2\sqrt{5} - \sqrt{3}$

$3$

$\dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$

$2\sqrt{3}$

$\dfrac{5 + 2\sqrt{3}}{2}$

Conceptos:círculo triángulo isósceles Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2120

Solución:

Tomemos un mantel con esquinas exteriores $P$ y $Q,$ y sea $R$ el punto del borde de la mesa diametralmente opuesto a $P.$ Entonces $PR = 8$ es un diámetro, así que $\triangle PQR$ tiene un ángulo recto en $Q,$ con $PQ = x.$

A lo largo de $QR,$ las esquinas interiores de manteles vecinos se encuentran en un triángulo isósceles con dos lados de longitud $x$ y ángulo en el vértice $120^\circ,$ cuya base es $\sqrt{3}\,x.$ Por lo tanto $QR = \sqrt{3}\,x + 2.$

El Teorema de Pitágoras da $x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64,$ que se simplifica a $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.$

Tomando la raíz positiva, $x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Take one mat with outer corners $P$ and $Q,$ and let $R$ be the point of the table's edge diametrically opposite $P.$ Then $PR = 8$ is a diameter, so $\triangle PQR$ has a right angle at $Q,$ with $PQ = x.$

Along $QR,$ the inner corners of neighboring mats meet in an isosceles triangle with two sides of length $x$ and vertex angle $120^\circ,$ whose base is $\sqrt{3}\,x.$ Hence $QR = \sqrt{3}\,x + 2.$

The Pythagorean Theorem gives $x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64,$ which simplifies to $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.$

Taking the positive root, $x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.$

Thus, C is the correct answer.

23.

Las soluciones de la ecuación $z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi - i = 0$ son los vértices de un polígono convexo en el plano complejo. ¿Cuál es el área del polígono?

The solutions of the equation $z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi - i = 0$ are the vertices of a convex polygon in the complex plane. What is the area of the polygon?

$2^{5/8}$

$2^{3/4}$

$2$

$2^{5/4}$

$2^{3/2}$

Conceptos:teorema del binomio número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2240

Solución:

Sumando $1 + i$ a ambos lados, el lado izquierdo se convierte en $\begin{aligned} &z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi + 1 \\ &= (z + i)^4, \end{aligned}$ así que $(z + i)^4 = 1 + i.$

Las cuatro soluciones para $w = z + i$ están igualmente espaciadas en un círculo de radio $|1 + i|^{1/4} = (2^{1/2})^{1/4} = 2^{1/8},$ y forman un cuadrado. Restar $i$ solo lo traslada.

Un cuadrado inscrito en un círculo de radio $2^{1/8}$ tiene diagonal $2 \cdot 2^{1/8} = 2^{9/8},$ así que su lado es $\tfrac{2^{9/8}}{\sqrt{2}} = 2^{5/8}.$

El área es $\left(2^{5/8}\right)^2 = 2^{5/4}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Adding $1 + i$ to both sides, the left side becomes $\begin{aligned} &z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi + 1 \\ &= (z + i)^4, \end{aligned}$ so $(z + i)^4 = 1 + i.$

The four solutions for $w = z + i$ are equally spaced on a circle of radius $|1 + i|^{1/4} = (2^{1/2})^{1/4} = 2^{1/8},$ and they form a square. Subtracting $i$ merely translates it.

A square inscribed in a circle of radius $2^{1/8}$ has diagonal $2 \cdot 2^{1/8} = 2^{9/8},$ so its side is $\tfrac{2^{9/8}}{\sqrt{2}} = 2^{5/8}.$

The area is $\left(2^{5/8}\right)^2 = 2^{5/4}.$

Thus, D is the correct answer.

24.

El triángulo $ABC$ tiene $\angle C = 60^\circ$ y $BC = 4.$ El punto $D$ es el punto medio de $BC.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $\tan(\angle BAD)$ ?

Triangle $ABC$ has $\angle C = 60^\circ$ and $BC = 4.$ Point $D$ is the midpoint of $BC.$ What is the largest possible value of $\tan(\angle BAD)?$

$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3}$

$1$

Conceptos:geometría analítica identidad trigonométrica optimización

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Coloca $C = (0, 0),$ $B = (2, 2\sqrt{3})$ de modo que $\angle C = 60^\circ$ y $BC = 4,$ y sea $A = (x, 0)$ con $x \gt 0.$ Entonces $D = (1, \sqrt{3})$ es el punto medio de $BC.$

Las rectas $AD$ y $AB$ tienen pendientes $\tfrac{\sqrt{3}}{1 - x}$ y $\tfrac{2\sqrt{3}}{2 - x}.$ Usando la fórmula de la tangente de la diferencia y simplificando, $\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8}.$

Igualar la derivada a cero da $x^2 = 8,$ así que $x = 2\sqrt{2}.$ Sustituyendo, $\begin{aligned} \tan(\angle BAD) &= \dfrac{2\sqrt{6}}{16 - 6\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{8 - 3\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3}. \end{aligned}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Place $C = (0, 0),$ $B = (2, 2\sqrt{3})$ so that $\angle C = 60^\circ$ and $BC = 4,$ and let $A = (x, 0)$ with $x \gt 0.$ Then $D = (1, \sqrt{3})$ is the midpoint of $BC.$

The lines $AD$ and $AB$ have slopes $\tfrac{\sqrt{3}}{1 - x}$ and $\tfrac{2\sqrt{3}}{2 - x}.$ Using the tangent-difference formula and simplifying, $\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8}.$

Setting the derivative to zero gives $x^2 = 8,$ so $x = 2\sqrt{2}.$ Substituting, $\begin{aligned} \tan(\angle BAD) &= \dfrac{2\sqrt{6}}{16 - 6\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{8 - 3\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3}. \end{aligned}$

Thus, D is the correct answer.

25.

Una sucesión $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3), \ldots$ de puntos en el plano coordenado satisface $\begin{aligned} &(a_{n+1}, b_{n+1}) \\ &= \left(\sqrt{3}\,a_n - b_n,\; \sqrt{3}\,b_n + a_n\right) \\ &\quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \end{aligned}$ Supongamos que $(a_{100}, b_{100}) = (2, 4).$ ¿Cuánto vale $a_1 + b_1$ ?

A sequence $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3), \ldots$ of points in the coordinate plane satisfies $\begin{aligned} &(a_{n+1}, b_{n+1}) \\ &= \left(\sqrt{3}\,a_n - b_n,\; \sqrt{3}\,b_n + a_n\right) \\ &\quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \end{aligned}$ Suppose that $(a_{100}, b_{100}) = (2, 4).$ What is $a_1 + b_1?$

$-\dfrac{1}{2^{97}}$

$-\dfrac{1}{2^{99}}$

$0$

$\dfrac{1}{2^{98}}$

$\dfrac{1}{2^{96}}$

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre

Nivel de dificultad: 2440

Solución:

Sea $z_n = a_n + b_n i.$ Entonces $\begin{aligned} z_{n+1} &= (\sqrt{3}\,a_n - b_n) \\ &\quad {}+ (\sqrt{3}\,b_n + a_n)i \\ &= (a_n + b_n i)(\sqrt{3} + i), \end{aligned}$ así que $z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i)$ y $z_{100} = z_1(\sqrt{3} + i)^{99}.$

Como $\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ),$ el teorema de De Moivre da $(\sqrt{3} + i)^{99}$ $= 2^{99}(\cos 2970^\circ + i\sin 2970^\circ).$ Como $2970^\circ$ es coterminal con $90^\circ,$ esto es igual a $2^{99} i.$

Así $2 + 4i = z_1 \cdot 2^{99} i,$ de modo que $z_1 = \dfrac{2 + 4i}{2^{99} i} = \dfrac{4 - 2i}{2^{99}}.$

Entonces $a_1 = \tfrac{4}{2^{99}}$ y $b_1 = -\tfrac{2}{2^{99}},$ así que $a_1 + b_1 = \dfrac{2}{2^{99}} = \dfrac{1}{2^{98}}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $z_n = a_n + b_n i.$ Then $\begin{aligned} z_{n+1} &= (\sqrt{3}\,a_n - b_n) \\ &\quad {}+ (\sqrt{3}\,b_n + a_n)i \\ &= (a_n + b_n i)(\sqrt{3} + i), \end{aligned}$ so $z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i)$ and $z_{100} = z_1(\sqrt{3} + i)^{99}.$

Since $\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ),$ De Moivre's theorem gives $(\sqrt{3} + i)^{99}$ $= 2^{99}(\cos 2970^\circ + i\sin 2970^\circ).$ As $2970^\circ$ is coterminal with $90^\circ,$ this equals $2^{99} i.$

Thus $2 + 4i = z_1 \cdot 2^{99} i,$ so $z_1 = \dfrac{2 + 4i}{2^{99} i} = \dfrac{4 - 2i}{2^{99}}.$

Then $a_1 = \tfrac{4}{2^{99}}$ and $b_1 = -\tfrac{2}{2^{99}},$ so $a_1 + b_1 = \dfrac{2}{2^{99}} = \dfrac{1}{2^{98}}.$

Thus, D is the correct answer.