Soluciones del 2008 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El dueño de una panadería enciende su máquina de rosquillas a las $8\!:\!30$ de la mañana. A las $11\!:\!10$ de la mañana la máquina ha completado un tercio del trabajo del día. ¿A qué hora terminará la máquina de rosquillas el trabajo?

A bakery owner turns on his doughnut machine at $8\!:\!30$ am. At $11\!:\!10$ am the machine has completed one third of the day’s job. At what time will the doughnut machine complete the job?

$1\!:\!50$ de la tarde

$1\!:\!50$ pm

$3\!:\!00$ de la tarde

$3\!:\!00$ pm

$3\!:\!30$ de la tarde

$3\!:\!30$ pm

$4\!:\!30$ de la tarde

$4\!:\!30$ pm

$5\!:\!50$ de la tarde

$5\!:\!50$ pm

Conceptos:razón y proporción fecha y hora

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Halla cuánto tiempo tomó terminar el primer tercio del trabajo.

Find how long it took to finish the first third of the job

Pista grande:

El trabajo completo toma tres veces lo que ese primer tercio.

The whole job takes three times as long as that first third

Solución:

Desde las $8\!:\!30$ de la mañana hasta las $11\!:\!10$ de la mañana hay $2$ horas $40$ minutos, es decir, $160$ minutos, para completar un tercio del trabajo.

Entonces el trabajo completo toma $3 \cdot 160 = 480$ minutos, es decir, $8$ horas. Sumar $8$ horas a las $8\!:\!30$ de la mañana da las $4\!:\!30$ de la tarde.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

From $8\!:\!30$ am to $11\!:\!10$ am is $2$ hours $40$ minutes, or $160$ minutes, to complete one third of the job.

The whole job then takes $3 \cdot 160 = 480$ minutes, or $8$ hours. Adding $8$ hours to $8\!:\!30$ am gives $4\!:\!30$ pm.

Thus, D is the correct answer.

2.

¿Cuál es el recíproco de $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}?$

What is the reciprocal of $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}?$

$\dfrac{6}{7}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{5}{3}$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 910

Pista pequeña:

Suma las dos fracciones usando un común denominador.

Add the two fractions using a common denominator

Pista grande:

El recíproco intercambia el numerador y el denominador.

The reciprocal swaps the numerator and denominator

Solución:

Usando un común denominador, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{7}{6}.$

El recíproco de $\dfrac{7}{6}$ es $\dfrac{6}{7}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Using a common denominator, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{7}{6}.$

The reciprocal of $\dfrac{7}{6}$ is $\dfrac{6}{7}.$

Thus, A is the correct answer.

3.

Supongamos que $\tfrac{2}{3}$ de $10$ plátanos valen tanto como $8$ naranjas. ¿Cuántas naranjas valen tanto como $\tfrac{1}{2}$ de $5$ plátanos?

Suppose that $\tfrac{2}{3}$ of $10$ bananas are worth as much as $8$ oranges. How many oranges are worth as much as $\tfrac{1}{2}$ of $5$ bananas?

$2$

$\dfrac{5}{2}$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Primero halla cuántas naranjas vale un solo plátano.

First find how many oranges a single banana is worth

Pista grande:

$\tfrac{2}{3}$ de $10$ plátanos son $\tfrac{20}{3}$ plátanos, y estos equivalen a $8$ naranjas.

$\tfrac{2}{3}$ of $10$ bananas is $\tfrac{20}{3}$ bananas, and these equal $8$ oranges

Solución:

Como $\tfrac{2}{3}$ de $10$ plátanos son $\tfrac{20}{3}$ plátanos, que valen $8$ naranjas, un plátano vale $8 \div \dfrac{20}{3} = \dfrac{24}{20} = \dfrac{6}{5}$ naranjas.

Entonces $\tfrac{1}{2}$ de $5$ plátanos son $\tfrac{5}{2}$ plátanos, que valen $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{6}{5} = 3$ naranjas.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $\tfrac{2}{3}$ of $10$ bananas is $\tfrac{20}{3}$ bananas, worth $8$ oranges, one banana is worth $8 \div \dfrac{20}{3} = \dfrac{24}{20} = \dfrac{6}{5}$ oranges.

Then $\tfrac{1}{2}$ of $5$ bananas is $\tfrac{5}{2}$ bananas, worth $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{6}{5} = 3$ oranges.

Thus, C is the correct answer.

4.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual al producto $\begin{aligned} &\dfrac{8}{4} \cdot \dfrac{12}{8} \cdot \dfrac{16}{12} \\ &\quad \cdots \dfrac{4n + 4}{4n} \cdots \dfrac{2008}{2004}? \end{aligned}$

Which of the following is equal to the product $\begin{aligned} &\dfrac{8}{4} \cdot \dfrac{12}{8} \cdot \dfrac{16}{12} \\ &\quad \cdots \dfrac{4n + 4}{4n} \cdots \dfrac{2008}{2004}? \end{aligned}$

$251$

$502$

$1004$

$2008$

$4016$

Conceptos:telescópica

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Cada denominador se cancela con el numerador de la fracción anterior.

Each denominator cancels with the numerator of the previous fraction

Pista grande:

Solo sobreviven el último numerador y el primer denominador.

Only the last numerator and the first denominator survive

Solución:

Todo denominador salvo el primero se cancela con el numerador de la fracción precedente, así que el producto se reduce a $\dfrac{2008}{4} = 502.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Every denominator except the first cancels with the numerator of the preceding fraction, so the product collapses to $\dfrac{2008}{4} = 502.$

Thus, B is the correct answer.

5.

Supongamos que $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$ es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera acerca de $x$ ?

Suppose that $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$ is an integer. Which of the following statements must be true about $x?$

Es negativo.

It is negative.

Es par, pero no necesariamente un múltiplo de $3.$

It is even, but not necessarily a multiple of $3.$

Es un múltiplo de $3,$ pero no necesariamente par.

It is a multiple of $3,$ but not necessarily even.

Es un múltiplo de $6,$ pero no necesariamente un múltiplo de $12.$

It is a multiple of $6,$ but not necessarily a multiple of $12.$

Es un múltiplo de $12.$

It is a multiple of $12.$

Conceptos:manipulación algebraica paridad

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Combina las dos fracciones sobre un común denominador.

Combine the two fractions over a common denominator

Pista grande:

Simplifica hasta $\dfrac{x}{2},$ y luego decide qué condición de divisibilidad hace que esto sea un entero.

Simplify to $\dfrac{x}{2},$ then decide what divisibility condition makes this an integer

Solución:

Combinando las fracciones, $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.$

Esto es un entero exactamente cuando $x$ es par. El ejemplo $x = 4$ es par pero no un múltiplo de $3,$ lo que descarta toda otra afirmación.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Combining the fractions, $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.$

This is an integer exactly when $x$ is even. The example $x = 4$ is even but not a multiple of $3,$ which rules out every other statement.

Thus, B is the correct answer.

6.

Heather compara el precio de una computadora nueva en dos tiendas diferentes. La tienda A ofrece $15\%$ de descuento sobre el precio de lista seguido de un reembolso de $\$90$ , y la tienda B ofrece $25\%$ de descuento sobre el mismo precio de lista sin reembolso. Heather ahorra $\$15$ comprando la computadora en la tienda A en lugar de la tienda B. ¿Cuál es el precio de lista de la computadora, en dólares?

Heather compares the price of a new computer at two different stores. Store A offers $15\%$ off the sticker price followed by a $\$90$ rebate, and store B offers $25\%$ off the same sticker price with no rebate. Heather saves $\$15$ by buying the computer at store A instead of store B. What is the sticker price of the computer, in dollars?

$750$

$900$

$1000$

$1050$

$1500$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Escribe el precio de cada tienda en términos del precio de lista $x$ .

Write each store’s price in terms of the sticker price $x$

Pista grande:

El precio de la tienda A es $15$ dólares menor que el precio de la tienda B.

Store A’s price is $15$ dollars less than store B’s price

Solución:

Sea $x$ el precio de lista en dólares. La tienda A cobra $0.85x - 90$ dólares, y la tienda B cobra $0.75x$ dólares.

Como la tienda A es $15$ dólares más barata, $0.85x - 90 = 0.75x - 15,$ así que $0.10x = 75$ y $x = 750.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $x$ be the sticker price in dollars. Store A charges $0.85x - 90$ dollars, and store B charges $0.75x$ dollars.

Since store A is $15$ dollars cheaper, $0.85x - 90 = 0.75x - 15,$ so $0.10x = 75$ and $x = 750.$

Thus, A is the correct answer.

7.

Mientras Steve y LeRoy pescan a $1$ milla de la orilla, su bote comienza a hacer agua, y el agua entra a una tasa constante de $10$ galones por minuto. El bote se hundirá si entran más de $30$ galones de agua. Steve comienza a remar hacia la orilla a una tasa constante de $4$ millas por hora mientras LeRoy achica agua del bote. ¿Cuál es la tasa más lenta, en galones por minuto, a la que LeRoy puede achicar si quieren llegar a la orilla sin hundirse?

While Steve and LeRoy are fishing $1$ mile from shore, their boat springs a leak, and water comes in at a constant rate of $10$ gallons per minute. The boat will sink if it takes in more than $30$ gallons of water. Steve starts rowing toward the shore at a constant rate of $4$ miles per hour while LeRoy bails water out of the boat. What is the slowest rate, in gallons per minute, at which LeRoy can bail if they are to reach the shore without sinking?

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Halla cuántos minutos toma el viaje a la orilla.

Find how many minutes the trip to shore takes

Pista grande:

El agua entra durante $15$ minutos, y a lo sumo pueden quedar $30$ galones en el bote.

Water enters for $15$ minutes, and at most $30$ gallons may remain in the boat

Solución:

Remar $1$ milla a $4$ millas por hora toma $\tfrac{1}{4}$ de hora, es decir, $15$ minutos. En ese tiempo entran $15 \cdot 10 = 150$ galones de agua al bote.

Como a lo sumo pueden quedar $30$ galones, LeRoy debe achicar $150 - 30 = 120$ galones en $15$ minutos, una tasa de $\dfrac{120}{15} = 8$ galones por minuto.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Rowing $1$ mile at $4$ miles per hour takes $\tfrac{1}{4}$ hour, or $15$ minutes. In that time $15 \cdot 10 = 150$ gallons of water enter the boat.

Since at most $30$ gallons may remain, LeRoy must bail $150 - 30 = 120$ gallons in $15$ minutes, a rate of $\dfrac{120}{15} = 8$ gallons per minute.

Thus, D is the correct answer.

8.

¿Cuál es el volumen de un cubo cuya área superficial es el doble de la de un cubo de volumen $1$ ?

What is the volume of a cube whose surface area is twice that of a cube with volume $1?$

$\sqrt{2}$

$2$

$2\sqrt{2}$

$4$

$8$

Conceptos:geometría del cubo área de superficie volumen

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Un cubo de volumen $1$ tiene área superficial $6$ .

A cube with volume $1$ has surface area $6$

Pista grande:

Si el cubo más grande tiene lado $s,$ entonces $6s^2 = 12$ .

If the larger cube has side $s,$ then $6s^2 = 12$

Solución:

El cubo de volumen $1$ tiene lado $1$ y área superficial $6.$ El cubo más grande tiene área superficial $12,$ así que si su lado es $s,$ entonces $6s^2 = 12,$ lo que da $s = \sqrt{2}.$

Su volumen es $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The cube with volume $1$ has side $1$ and surface area $6.$ The larger cube has surface area $12,$ so if its side is $s,$ then $6s^2 = 12,$ giving $s = \sqrt{2}.$

Its volume is $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}.$

Thus, C is the correct answer.

9.

Las pantallas de televisión más antiguas tienen una relación de aspecto de $4:3.$ Es decir, la razón entre el ancho y la altura es $4:3.$ La relación de aspecto de muchas películas no es $4:3,$ por lo que a veces se muestran en una pantalla de televisión mediante el “formato de buzón”, oscureciendo franjas de igual altura en la parte superior e inferior de la pantalla, como se muestra. Supongamos que una película tiene una relación de aspecto de $2:1$ y se muestra en una pantalla de televisión antigua con una diagonal de $27$ pulgadas. ¿Cuál es la altura, en pulgadas, de cada franja oscurecida?

Older television screens have an aspect ratio of $4:3.$ That is, the ratio of the width to the height is $4:3.$ The aspect ratio of many movies is not $4:3,$ so they are sometimes shown on a television screen by “letterboxing” — darkening strips of equal height at the top and bottom of the screen, as shown. Suppose a movie has an aspect ratio of $2:1$ and is shown on an older television screen with a $27$ -inch diagonal. What is the height, in inches, of each darkened strip?

$2$

$2.25$

$2.5$

$2.7$

$3$

Conceptos:Terna pitagórica razón y proporción

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

El ancho, la altura y la diagonal de la pantalla están en razón $4:3:5$ .

The screen’s width, height, and diagonal are in ratio $4:3:5$

Pista grande:

La región iluminada de la película conserva el ancho completo pero tiene una altura igual a la mitad de ese ancho.

The lit movie region keeps the full width but has height equal to half that width

Solución:

Como los lados y la diagonal están en razón $3:4:5,$ la altura es $\tfrac{3}{5} \cdot 27 = 16.2$ pulgadas y el ancho es $\tfrac{4}{5} \cdot 27 = 21.6$ pulgadas.

La película tiene relación de aspecto $2:1,$ así que su altura es $\tfrac{21.6}{2} = 10.8$ pulgadas.

Por lo tanto, cada franja oscurecida tiene altura $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7$ pulgadas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since the sides and diagonal are in ratio $3:4:5,$ the height is $\tfrac{3}{5} \cdot 27 = 16.2$ inches and the width is $\tfrac{4}{5} \cdot 27 = 21.6$ inches.

The movie has aspect ratio $2:1,$ so its height is $\tfrac{21.6}{2} = 10.8$ inches.

Each darkened strip therefore has height $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7$ inches.

Thus, D is the correct answer.

10.

Doug puede pintar una habitación en $5$ horas. Dave puede pintar la misma habitación en $7$ horas. Doug y Dave pintan la habitación juntos y toman un descanso de una hora para almorzar. Sea $t$ el tiempo total, en horas, que necesitan para completar el trabajo trabajando juntos, incluyendo el almuerzo. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones satisface $t$ ?

Doug can paint a room in $5$ hours. Dave can paint the same room in $7$ hours. Doug and Dave paint the room together and take a one-hour break for lunch. Let $t$ be the total time, in hours, required for them to complete the job working together, including lunch. Which of the following equations is satisfied by $t?$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t + 1) = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)t + 1 = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)t = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1$

$(5 + 7)t = 1$

Conceptos:tasa ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Juntos pintan $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}$ de la habitación cada hora.

Together they paint $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}$ of the room each hour

Pista grande:

De las $t$ horas, una hora es el almuerzo, así que en realidad trabajan $t - 1$ horas.

Of the $t$ hours, one hour is lunch, so they actually work $t - 1$ hours

Solución:

En una hora Doug pinta $\tfrac{1}{5}$ de la habitación y Dave pinta $\tfrac{1}{7},$ así que juntos pintan $\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7}$ de la habitación por hora.

Del tiempo total $t,$ una hora se dedica al almuerzo, así que trabajan durante $t - 1$ horas. La fracción pintada debe ser igual a $1,$ lo que da $\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

In one hour Doug paints $\tfrac{1}{5}$ of the room and Dave paints $\tfrac{1}{7},$ so together they paint $\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7}$ of the room per hour.

Of the total time $t,$ one hour is spent at lunch, so they work for $t - 1$ hours. The fraction painted must equal $1,$ giving $\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1.$

Thus, D is the correct answer.

11.

Tres cubos se forman cada uno a partir del patrón mostrado. Luego se apilan sobre una mesa uno encima de otro de modo que los $13$ números visibles tengan la mayor suma posible. ¿Cuál es esa suma?

Three cubes are each formed from the pattern shown. They are then stacked on a table one on top of another so that the $13$ visible numbers have the greatest possible sum. What is that sum?

$154$

$159$

$164$

$167$

$189$

Conceptos:geometría del cubo optimización

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

En cada cubo las caras opuestas son $1$ y $32,$ $2$ y $16,$ y $4$ y $8$ .

On each cube the opposite faces are $1$ & $32,$ $2$ & $16,$ and $4$ & $8$

Pista grande:

Cada uno de los dos cubos inferiores oculta un par de caras opuestas; el cubo superior oculta solo su cara inferior.

The two lower cubes each hide a pair of opposite faces; the top cube hides only its bottom face

Solución:

Las seis caras de cada cubo suman $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63.$ Del patrón, los pares de caras opuestas son $1$ y $32,$ $2$ y $16,$ y $4$ y $8.$

Cada uno de los dos cubos inferiores oculta un par de caras opuestas (arriba y abajo); ocultar el par $4 + 8 = 12$ es lo mejor. El cubo superior oculta solo su cara inferior, así que se oculta el $1.$

La mayor suma es $\begin{aligned} &3 \cdot 63 - 2 \cdot 12 - 1 \\ &= 189 - 24 - 1 \\ &= 164. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The six faces of each cube sum to $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63.$ From the pattern, the pairs of opposite faces are $1$ & $32,$ $2$ & $16,$ and $4$ & $8.$

Each of the two lower cubes hides a pair of opposite faces (top and bottom); hiding the pair $4 + 8 = 12$ is best. The top cube hides only its bottom face, so hide the $1.$

The greatest sum is $\begin{aligned} &3 \cdot 63 - 2 \cdot 12 - 1 \\ &= 189 - 24 - 1 \\ &= 164. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

12.

Una función $f$ tiene dominio $[0, 2]$ y rango $[0, 1].$ (La notación $[a, b]$ denota $\{x : a \le x \le b\}.$ ) ¿Cuáles son el dominio y el rango, respectivamente, de la función $g$ definida por $g(x) = 1 - f(x + 1)?$

A function $f$ has domain $[0, 2]$ and range $[0, 1].$ (The notation $[a, b]$ denotes $\{x : a \le x \le b\}.$ ) What are the domain and range, respectively, of the function $g$ defined by $g(x) = 1 - f(x + 1)?$

$[-1, 1],$ $[-1, 0]$

$[-1, 1],$ $[0, 1]$

$[0, 2],$ $[-1, 0]$

$[1, 3],$ $[-1, 0]$

$[1, 3],$ $[0, 1]$

Conceptos:función

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

$f(x + 1)$ está definida cuando $0 \le x + 1 \le 2$ .

$f(x + 1)$ is defined when $0 \le x + 1 \le 2$

Pista grande:

Restar $f(x + 1) \in [0, 1]$ de $1$ invierte el intervalo pero lo mantiene $[0, 1]$ .

Subtracting $f(x + 1) \in [0, 1]$ from $1$ reverses the interval but keeps it $[0, 1]$

Solución:

El valor $f(x + 1)$ está definido cuando $0 \le x + 1 \le 2,$ es decir, $-1 \le x \le 1,$ así que el dominio de $g$ es $[-1, 1].$

Cuando $f(x + 1)$ recorre $[0, 1],$ el valor $1 - f(x + 1)$ recorre $[0, 1]$ también, así que el rango de $g$ es $[0, 1].$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The value $f(x + 1)$ is defined when $0 \le x + 1 \le 2,$ that is, $-1 \le x \le 1,$ so the domain of $g$ is $[-1, 1].$

As $f(x + 1)$ ranges over $[0, 1],$ the value $1 - f(x + 1)$ ranges over $[0, 1]$ as well, so the range of $g$ is $[0, 1].$

Thus, B is the correct answer.

13.

Los puntos $A$ y $B$ están en un círculo centrado en $O,$ y $\angle AOB = 60^\circ.$ Un segundo círculo es tangente internamente al primero y tangente a $OA$ y $OB.$ ¿Cuál es la razón entre el área del círculo menor y la del círculo mayor?

Points $A$ and $B$ lie on a circle centered at $O,$ and $\angle AOB = 60^\circ.$ A second circle is internally tangent to the first and tangent to both $OA$ and $OB.$ What is the ratio of the area of the smaller circle to that of the larger circle?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:circunferencias tangentes triángulo rectángulo especial razón de áreas

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

El centro del círculo pequeño está en la bisectriz de $\angle AOB$ .

The center of the small circle lies on the bisector of $\angle AOB$

Pista grande:

Trazar un radio perpendicular a $OA$ forma un triángulo $30$ - $60$ - $90$ en el que $OE = 2r$ .

Dropping a radius to $OA$ makes a $30$ - $60$ - $90$ triangle in which $OE = 2r$

Solución:

Sean $r$ y $R$ los radios de los círculos menor y mayor, y sea $E$ el centro del círculo menor. Por simetría $E$ está en la bisectriz de $\angle AOB,$ así que $OE$ forma un ángulo de $30^\circ$ con $OA.$

Trazar el radio $ED$ perpendicular a $OA$ da un triángulo $30$ - $60$ - $90$ con $OE = 2 \cdot ED = 2r.$ Como los círculos son tangentes internamente, $OE = R - r.$

Entonces $R - r = 2r,$ así que $R = 3r$ y $\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}.$ La razón de áreas es $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $r$ and $R$ be the radii of the smaller and larger circles, and let $E$ be the center of the smaller circle. By symmetry $E$ lies on the bisector of $\angle AOB,$ so $OE$ makes a $30^\circ$ angle with $OA.$

Dropping the radius $ED$ perpendicular to $OA$ gives a $30$ - $60$ - $90$ triangle with $OE = 2 \cdot ED = 2r.$ Since the circles are internally tangent, $OE = R - r.$

Then $R - r = 2r,$ so $R = 3r$ and $\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}.$ The ratio of areas is $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Thus, B is the correct answer.

14.

¿Cuál es el área de la región definida por la desigualdad $|3x - 18| + |2y + 7| \le 3?$

What is the area of the region defined by the inequality $|3x - 18| + |2y + 7| \le 3?$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

$\dfrac{9}{2}$

$5$

Conceptos:valor absoluto rombo área

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

La región es un rombo centrado donde $3x - 18 = 0$ y $2y + 7 = 0$ .

The region is a rhombus centered where $3x - 18 = 0$ and $2y + 7 = 0$

Pista grande:

Su diagonal horizontal abarca $x \in [5, 7]$ y su diagonal vertical abarca $y \in [-5, -2]$ .

Its horizontal diagonal spans $x \in [5, 7]$ and its vertical diagonal spans $y \in [-5, -2]$

Solución:

La región es un rombo centrado en $\left(6, -\tfrac{7}{2}\right).$ Poner $2y + 7 = 0$ da $|3x - 18| \le 3,$ así que $x \in [5, 7],$ una diagonal horizontal de longitud $2.$

Poner $3x - 18 = 0$ da $|2y + 7| \le 3,$ así que $y \in [-5, -2],$ una diagonal vertical de longitud $3.$

El área del rombo es la mitad del producto de sus diagonales, $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The region is a rhombus centered at $\left(6, -\tfrac{7}{2}\right).$ Setting $2y + 7 = 0$ gives $|3x - 18| \le 3,$ so $x \in [5, 7],$ a horizontal diagonal of length $2.$

Setting $3x - 18 = 0$ gives $|2y + 7| \le 3,$ so $y \in [-5, -2],$ a vertical diagonal of length $3.$

The area of the rhombus is half the product of its diagonals, $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3.$

Thus, A is the correct answer.

15.

Sea $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ ¿Cuál es el dígito de las unidades de $k^2 + 2^k$ ?

Let $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ What is the units digit of $k^2 + 2^k?$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:dígito de las unidades exponenciación modular

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

El dígito de las unidades de $2^n$ recorre $2, 4, 8, 6$ con período $4$ .

The units digit of $2^n$ cycles $2, 4, 8, 6$ with period $4$

Pista grande:

Halla primero el dígito de las unidades de $k$ , luego observa que $k$ es un múltiplo de $4$ .

Find the units digit of $k$ first, then note that $k$ is a multiple of $4$

Solución:

El dígito de las unidades de $2008^2$ es $4.$ Como $2008$ es un múltiplo de $4,$ el dígito de las unidades de $2^{2008}$ es $6.$ Así $k$ tiene dígito de las unidades $0,$ y también lo tiene $k^2.$

Tanto $2008^2$ como $2^{2008}$ son múltiplos de $4,$ así que $k$ es un múltiplo de $4.$ Por lo tanto el dígito de las unidades de $2^k$ es $6.$

El dígito de las unidades de $k^2 + 2^k$ es entonces $0 + 6 = 6.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The units digit of $2008^2$ is $4.$ Since $2008$ is a multiple of $4,$ the units digit of $2^{2008}$ is $6.$ Thus $k$ has units digit $0,$ and so does $k^2.$

Both $2008^2$ and $2^{2008}$ are multiples of $4,$ so $k$ is a multiple of $4.$ Therefore the units digit of $2^k$ is $6.$

The units digit of $k^2 + 2^k$ is then $0 + 6 = 6.$

Thus, D is the correct answer.

16.

Los números $\log(a^3 b^7),$ $\log(a^5 b^{12}),$ y $\log(a^8 b^{15})$ son los primeros tres términos de una sucesión aritmética, y el $12$ o término de la sucesión es $\log(b^n).$ ¿Cuánto vale $n$ ?

The numbers $\log(a^3 b^7),$ $\log(a^5 b^{12}),$ and $\log(a^8 b^{15})$ are the first three terms of an arithmetic sequence, and the $12$ th term of the sequence is $\log(b^n).$ What is $n?$

$40$

$56$

$76$

$112$

$143$

Conceptos:sucesión aritmética logaritmo

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Escribe cada término como $p \log a + q \log b$ e iguala las diferencias consecutivas.

Write each term as $p \log a + q \log b$ and set the consecutive differences equal

Pista grande:

Diferencias iguales fuerzan $\log a = 2 \log b,$ reduciendo cada término a un múltiplo de $\log b$ .

Equal differences force $\log a = 2 \log b,$ reducing every term to a multiple of $\log b$

Solución:

Los tres términos son $3\log a + 7\log b,$ $5\log a + 12\log b,$ y $8\log a + 15\log b.$ Igualando las dos diferencias consecutivas, $\begin{aligned} &2\log a + 5\log b \\ &= 3\log a + 3\log b, \end{aligned}$ así que $\log a = 2\log b.$

El primer término es entonces $(3 \cdot 2 + 7)\log b = 13\log b,$ y la diferencia común es $(2 \cdot 2 + 5)\log b = 9\log b.$

El $12$ o término es $\begin{aligned} (13 + 11 \cdot 9)\log b &= 112\log b \\ &= \log(b^{112}), \end{aligned}$ así que $n = 112.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The three terms are $3\log a + 7\log b,$ $5\log a + 12\log b,$ and $8\log a + 15\log b.$ Setting the two consecutive differences equal, $\begin{aligned} &2\log a + 5\log b \\ &= 3\log a + 3\log b, \end{aligned}$ so $\log a = 2\log b.$

The first term is then $(3 \cdot 2 + 7)\log b = 13\log b,$ and the common difference is $(2 \cdot 2 + 5)\log b = 9\log b.$

The $12$ th term is $\begin{aligned} (13 + 11 \cdot 9)\log b &= 112\log b \\ &= \log(b^{112}), \end{aligned}$ so $n = 112.$

Thus, D is the correct answer.

17.

Sea $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ una sucesión de enteros determinada por la regla $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$ si $a_{n-1}$ es par y $a_n = 3a_{n-1} + 1$ si $a_{n-1}$ es impar. ¿Para cuántos enteros positivos $a_1 \le 2008$ es cierto que $a_1$ es menor que cada uno de $a_2,$ $a_3,$ y $a_4$ ?

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ be a sequence of integers determined by the rule $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$ if $a_{n-1}$ is even and $a_n = 3a_{n-1} + 1$ if $a_{n-1}$ is odd. For how many positive integers $a_1 \le 2008$ is it true that $a_1$ is less than each of $a_2,$ $a_3,$ and $a_4?$

$250$

$251$

$501$

$502$

$1004$

Conceptos:recursión aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Si $a_1$ es par entonces $a_2 \lt a_1,$ así que $a_1$ debe ser impar.

If $a_1$ is even then $a_2 \lt a_1,$ so $a_1$ must be odd

Pista grande:

Divide el caso impar según si $a_1 \equiv 1$ o $a_1 \equiv 3 \pmod 4$ .

Split the odd case according to whether $a_1 \equiv 1$ or $a_1 \equiv 3 \pmod 4$

Solución:

Si $a_1$ es par, entonces $a_2 = \frac{a_1}{2} \lt a_1,$ así que la condición falla.

Si $a_1 \equiv 1 \pmod 4,$ entonces $a_2 = 3a_1 + 1$ es un múltiplo de $4,$ así que $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2}$ y $a_4 = \frac{3a_1 + 1}{4} \le a_1,$ y de nuevo la condición falla.

Si $a_1 \equiv 3 \pmod 4,$ entonces $a_2$ es par pero no un múltiplo de $4,$ así que $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2} \gt a_1,$ y $a_3$ es impar, lo que da $a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1.$ La condición se cumple.

Exactamente $\tfrac{2008}{4} = 502$ valores de $a_1 \le 2008$ satisfacen $a_1 \equiv 3 \pmod 4.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

If $a_1$ is even, then $a_2 = \frac{a_1}{2} \lt a_1,$ so the condition fails.

If $a_1 \equiv 1 \pmod 4,$ then $a_2 = 3a_1 + 1$ is a multiple of $4,$ so $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2}$ and $a_4 = \frac{3a_1 + 1}{4} \le a_1,$ and again the condition fails.

If $a_1 \equiv 3 \pmod 4,$ then $a_2$ is even but not a multiple of $4,$ so $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2} \gt a_1,$ and $a_3$ is odd, giving $a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1.$ The condition holds.

Exactly $\tfrac{2008}{4} = 502$ values of $a_1 \le 2008$ satisfy $a_1 \equiv 3 \pmod 4.$

Thus, D is the correct answer.

18.

El triángulo $ABC,$ con lados de longitud $5,$ $6,$ y $7,$ tiene un vértice en el eje $x$ positivo, uno en el eje $y$ positivo, y uno en el eje $z$ positivo. Sea $O$ el origen. ¿Cuál es el volumen del tetraedro $OABC$ ?

Triangle $ABC,$ with sides of length $5,$ $6,$ and $7,$ has one vertex on the positive $x$ -axis, one on the positive $y$ -axis, and one on the positive $z$ -axis. Let $O$ be the origin. What is the volume of tetrahedron $OABC?$

$\sqrt{85}$

$\sqrt{90}$

$\sqrt{95}$

$10$

$\sqrt{105}$

Conceptos:Geometría 3D sistema de ecuaciones volumen

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Sean los vértices $(a, 0, 0),$ $(0, b, 0),$ $(0, 0, c)$ y escribe las tres ecuaciones de longitudes de lado.

Let the vertices be $(a, 0, 0),$ $(0, b, 0),$ $(0, 0, c)$ and write the three side-length equations

Pista grande:

Sumar las tres ecuaciones da $a^2 + b^2 + c^2,$ y el volumen es $\tfrac{1}{6}abc$ .

Adding the three equations gives $a^2 + b^2 + c^2,$ and the volume is $\tfrac{1}{6}abc$

Solución:

Sean $A = (a, 0, 0),$ $B = (0, b, 0),$ $C = (0, 0, c).$ Asignando los lados, $\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49. \end{aligned}$

Sumando se obtiene $a^2 + b^2 + c^2 = 55,$ así que $a^2 = 19,$ $b^2 = 6,$ y $c^2 = 30.$

El volumen es $\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95}. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $A = (a, 0, 0),$ $B = (0, b, 0),$ $C = (0, 0, c).$ Assigning the sides, $\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49. \end{aligned}$

Adding gives $a^2 + b^2 + c^2 = 55,$ so $a^2 = 19,$ $b^2 = 6,$ and $c^2 = 30.$

The volume is $\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95}. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

19.

En el desarrollo de $\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}$ ¿cuál es el coeficiente de $x^{28}$ ?

In the expansion of $\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}$ what is the coefficient of $x^{28}?$

$195$

$196$

$224$

$378$

$405$

Conceptos:funciones generatrices particiones y composiciones

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Un término tiene la forma $x^{a+b+c}$ con $0 \le a \le 27$ y $0 \le b, c \le 14$ .

A term has the form $x^{a+b+c}$ with $0 \le a \le 27$ and $0 \le b, c \le 14$

Pista grande:

Para cada uno de los $15^2$ pares $(b, c),$ hay un único valor válido $a,$ excepto cuando $b = c = 0$ .

For each of the $15^2$ pairs $(b, c),$ there is a unique valid $a,$ except when $b = c = 0$

Solución:

Cada término es $x^{a + b + c}$ con $0 \le a \le 27$ y $0 \le b, c \le 14.$ Para obtener $x^{28}$ necesitamos $a = 28 - b - c.$

Hay $(14 + 1)^2 = 225$ opciones para $(b, c).$ Para cada opción salvo $(b, c) = (0, 0),$ el valor requerido $a = 28 - b - c$ está en $[0, 27],$ dando un término válido.

El coeficiente de $x^{28}$ es por lo tanto $225 - 1 = 224.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Each term is $x^{a + b + c}$ with $0 \le a \le 27$ and $0 \le b, c \le 14.$ To get $x^{28}$ we need $a = 28 - b - c.$

There are $(14 + 1)^2 = 225$ choices for $(b, c).$ For every choice except $(b, c) = (0, 0),$ the required $a = 28 - b - c$ lies in $[0, 27],$ giving a valid term.

The coefficient of $x^{28}$ is therefore $225 - 1 = 224.$

Thus, C is the correct answer.

20.

El triángulo $ABC$ tiene $AC = 3,$ $BC = 4,$ y $AB = 5.$ El punto $D$ está en $AB,$ y $CD$ biseca el ángulo recto. Los círculos inscritos de $\triangle ADC$ y $\triangle BCD$ tienen radios $r_a$ y $r_b,$ respectivamente. ¿Cuánto vale $\frac{r_a}{r_b}$ ?

Triangle $ABC$ has $AC = 3,$ $BC = 4,$ and $AB = 5.$ Point $D$ is on $AB,$ and $CD$ bisects the right angle. The inscribed circles of $\triangle ADC$ and $\triangle BCD$ have radii $r_a$ and $r_b,$ respectively. What is $\frac{r_a}{r_b}?$

$\dfrac{1}{28}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{3}{56}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{1}{14}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{5}{56}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2})$

Conceptos:teorema de la bisectriz circunferencia inscrita, incentro e inradio razón de áreas

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Por el Teorema de la Bisectriz del Ángulo, $AD:DB = CA:CB = 3:4$ .

By the Angle Bisector Theorem, $AD:DB = CA:CB = 3:4$

Pista grande:

Para cada triángulo pequeño $r = \frac{\text{área}}{s};$ los dos triángulos comparten la base $CD$ .

For each small triangle $r = \frac{\text{area}}{s};$ the two triangles share the base $CD$

Solución:

Por el Teorema de la Bisectriz del Ángulo, $AD:DB = CA:CB = 3:4,$ así que $AD = \tfrac{15}{7}$ y $BD = \tfrac{20}{7}.$ Las áreas de $\triangle ADC$ y $\triangle BCD$ comparten la base $CD,$ así que están en razón $3:4,$ a saber $\tfrac{18}{7}$ y $\tfrac{24}{7}.$

Dividir $\triangle ABC$ a lo largo de $CD,$ que corta cada cateto a $45^\circ,$ da $\dfrac{3 \cdot CD}{2\sqrt{2}} + \dfrac{4 \cdot CD}{2\sqrt{2}} = 6,$ así que $CD = \tfrac{12\sqrt{2}}{7}.$

Los dos semiperímetros son $\begin{aligned} s_a &= \dfrac{6}{7}(3 + \sqrt{2}), \\ s_b &= \dfrac{6}{7}(4 + \sqrt{2}). \end{aligned}$ Usando $r = \frac{\text{área}}{s},$ $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{[ADC]}{[BCD]} \cdot \dfrac{s_b}{s_a} \\ &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}, \end{aligned}$

Racionalizando, $\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7},$ así que $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7} \\ &= \dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2}). \end{aligned}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

By the Angle Bisector Theorem, $AD:DB = CA:CB = 3:4,$ so $AD = \tfrac{15}{7}$ and $BD = \tfrac{20}{7}.$ The areas of $\triangle ADC$ and $\triangle BCD$ share base $CD,$ so they are in ratio $3:4,$ namely $\tfrac{18}{7}$ and $\tfrac{24}{7}.$

Splitting $\triangle ABC$ along $CD,$ which meets each leg at $45^\circ,$ gives $\dfrac{3 \cdot CD}{2\sqrt{2}} + \dfrac{4 \cdot CD}{2\sqrt{2}} = 6,$ so $CD = \tfrac{12\sqrt{2}}{7}.$

The two semiperimeters are $\begin{aligned} s_a &= \dfrac{6}{7}(3 + \sqrt{2}), \\ s_b &= \dfrac{6}{7}(4 + \sqrt{2}). \end{aligned}$ Using $r = \frac{\text{area}}{s},$ $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{[ADC]}{[BCD]} \cdot \dfrac{s_b}{s_a} \\ &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}, \end{aligned}$

Rationalizing, $\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7},$ so $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7} \\ &= \dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2}). \end{aligned}$

Thus, E is the correct answer.

21.

Una permutación $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ de $(1, 2, 3, 4, 5)$ es cola pesada si $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5.$ ¿Cuál es el número de permutaciones de cola pesada?

A permutation $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ of $(1, 2, 3, 4, 5)$ is heavy-tailed if $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5.$ What is the number of heavy-tailed permutations?

$36$

$40$

$44$

$48$

$52$

Conceptos:permutaciones simetría conteo complementario

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Por simetría, $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5$ y $a_1 + a_2 \gt a_4 + a_5$ ocurren con igual frecuencia.

By symmetry, $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5$ and $a_1 + a_2 \gt a_4 + a_5$ occur equally often

Pista grande:

Cuenta las permutaciones equilibradas $a_1 + a_2 = a_4 + a_5;$ aquí $a_3 \in \{1, 3, 5\}$ .

Count the balanced permutations $a_1 + a_2 = a_4 + a_5;$ here $a_3 \in \{1, 3, 5\}$

Solución:

Llamemos equilibrada a una permutación si $a_1 + a_2 = a_4 + a_5.$ Invertir las entradas intercambia los dos casos estrictos, así que las permutaciones de cola pesada y las de cabeza pesada son igual de numerosas.

El total $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ es impar, así que en una permutación equilibrada $a_3$ debe ser impar, uno de $1, 3, 5.$ Para cada elección, los cuatro números restantes se dividen de manera única en dos pares de igual suma.

Cualquiera de los cuatro puede ser $a_1$ (fijando $a_2$ ), y cualquiera de los números restantes puede ser $a_4$ (fijando $a_5$ ), lo que da $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ permutaciones equilibradas.

Las otras $120 - 24 = 96$ permutaciones se dividen por igual, así que hay $\tfrac{96}{2} = 48$ permutaciones de cola pesada.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Call a permutation balanced if $a_1 + a_2 = a_4 + a_5.$ Reversing the entries swaps the two strict cases, so heavy-tailed and heavy-headed permutations are equally numerous.

The total $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ is odd, so in a balanced permutation $a_3$ must be odd, one of $1, 3, 5.$ For each choice, the remaining four numbers split uniquely into two equal-sum pairs.

Any of the four can be $a_1$ (fixing $a_2$ ), and either remaining number can be $a_4$ (fixing $a_5$ ), giving $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ balanced permutations.

The other $120 - 24 = 96$ permutations split evenly, so there are $\tfrac{96}{2} = 48$ heavy-tailed permutations.

Thus, D is the correct answer.

22.

Una mesa redonda tiene radio $4.$ Se colocan seis manteles individuales rectangulares sobre la mesa. Cada mantel tiene ancho $1$ y largo $x$ como se muestra. Se colocan de modo que cada mantel tenga dos esquinas en el borde de la mesa, siendo estas dos esquinas los extremos del mismo lado de largo $x.$ Además, los manteles se colocan de modo que las esquinas interiores toquen cada una una esquina interior de un mantel adyacente. ¿Cuánto vale $x$ ?

A round table has radius $4.$ Six rectangular place mats are placed on the table. Each place mat has width $1$ and length $x$ as shown. They are positioned so that each mat has two corners on the edge of the table, these two corners being endpoints of the same side of length $x.$ Further, the mats are positioned so that the inner corners each touch an inner corner of an adjacent mat. What is $x?$

$2\sqrt{5} - \sqrt{3}$

$3$

$\dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$

$2\sqrt{3}$

$\dfrac{5 + 2\sqrt{3}}{2}$

Conceptos:círculo triángulo isósceles Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Para un mantel, sean $P, Q$ sus esquinas exteriores y $R$ el punto diametralmente opuesto a $P;$ entonces $\triangle PQR$ es rectángulo con $PR = 8$ .

For one mat, let $P, Q$ be its outer corners and $R$ the point diametrically opposite $P;$ then $\triangle PQR$ is right-angled with $PR = 8$

Pista grande:

Las esquinas interiores forman triángulos isósceles con ángulo en el vértice $120^\circ,$ aportando un segmento de longitud $\sqrt{3}\,x$ .

The inner corners form isosceles triangles with vertex angle $120^\circ,$ contributing a segment of length $\sqrt{3}\,x$

Solución:

Tomemos un mantel con esquinas exteriores $P$ y $Q,$ y sea $R$ el punto del borde de la mesa diametralmente opuesto a $P.$ Entonces $PR = 8$ es un diámetro, así que $\triangle PQR$ tiene un ángulo recto en $Q,$ con $PQ = x.$

A lo largo de $QR,$ las esquinas interiores de manteles vecinos se encuentran en un triángulo isósceles con dos lados de longitud $x$ y ángulo en el vértice $120^\circ,$ cuya base es $\sqrt{3}\,x.$ Por lo tanto $QR = \sqrt{3}\,x + 2.$

El Teorema de Pitágoras da $x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64,$ que se simplifica a $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.$

Tomando la raíz positiva, $x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Take one mat with outer corners $P$ and $Q,$ and let $R$ be the point of the table’s edge diametrically opposite $P.$ Then $PR = 8$ is a diameter, so $\triangle PQR$ has a right angle at $Q,$ with $PQ = x.$

Along $QR,$ the inner corners of neighboring mats meet in an isosceles triangle with two sides of length $x$ and vertex angle $120^\circ,$ whose base is $\sqrt{3}\,x.$ Hence $QR = \sqrt{3}\,x + 2.$

The Pythagorean Theorem gives $x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64,$ which simplifies to $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.$

Taking the positive root, $x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.$

Thus, C is the correct answer.

23.

Las soluciones de la ecuación $z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi - i = 0$ son los vértices de un polígono convexo en el plano complejo. ¿Cuál es el área del polígono?

The solutions of the equation $z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi - i = 0$ are the vertices of a convex polygon in the complex plane. What is the area of the polygon?

$2^{\frac{5}{8}}$

$2^{\frac{3}{4}}$

$2$

$2^{\frac{5}{4}}$

$2^{\frac{3}{2}}$

Conceptos:teorema del binomio número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Suma $1 + i$ a ambos lados para reconocer una cuarta potencia perfecta.

Add $1 + i$ to both sides to recognize a perfect fourth power

Pista grande:

Los cuatro valores de $z + i$ están igualmente espaciados en un círculo de radio $2^{\frac{1}{8}},$ formando un cuadrado.

The four values of $z + i$ lie equally spaced on a circle of radius $2^{\frac{1}{8}},$ forming a square

Solución:

Sumando $1 + i$ a ambos lados, el lado izquierdo se convierte en $\begin{aligned} &z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi + 1 \\ &= (z + i)^4, \end{aligned}$ así que $(z + i)^4 = 1 + i.$

Las cuatro soluciones para $w = z + i$ están igualmente espaciadas en un círculo de radio $|1 + i|^{\frac{1}{4}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}},$ y forman un cuadrado. Restar $i$ solo lo traslada.

Un cuadrado inscrito en un círculo de radio $2^{\frac{1}{8}}$ tiene diagonal $2 \cdot 2^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{9}{8}},$ así que su lado es $\tfrac{2^{\frac{9}{8}}}{\sqrt{2}} = 2^{\frac{5}{8}}.$

El área es $\left(2^{\frac{5}{8}}\right)^2 = 2^{\frac{5}{4}}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Adding $1 + i$ to both sides, the left side becomes $\begin{aligned} &z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi + 1 \\ &= (z + i)^4, \end{aligned}$ so $(z + i)^4 = 1 + i.$

The four solutions for $w = z + i$ are equally spaced on a circle of radius $|1 + i|^{\frac{1}{4}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}},$ and they form a square. Subtracting $i$ merely translates it.

A square inscribed in a circle of radius $2^{\frac{1}{8}}$ has diagonal $2 \cdot 2^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{9}{8}},$ so its side is $\tfrac{2^{\frac{9}{8}}}{\sqrt{2}} = 2^{\frac{5}{8}}.$

The area is $\left(2^{\frac{5}{8}}\right)^2 = 2^{\frac{5}{4}}.$

Thus, D is the correct answer.

24.

El triángulo $ABC$ tiene $\angle C = 60^\circ$ y $BC = 4.$ El punto $D$ es el punto medio de $BC.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $\tan(\angle BAD)$ ?

Triangle $ABC$ has $\angle C = 60^\circ$ and $BC = 4.$ Point $D$ is the midpoint of $BC.$ What is the largest possible value of $\tan(\angle BAD)?$

$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3}$

$1$

Conceptos:geometría analítica identidad trigonométrica optimización

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Coloca $C = (0, 0),$ $B = (2, 2\sqrt{3}),$ y $A = (x, 0)$ con $x \gt 0$ .

Place $C = (0, 0),$ $B = (2, 2\sqrt{3}),$ and $A = (x, 0)$ with $x \gt 0$

Pista grande:

Usar las pendientes da $\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8};$ maximiza sobre $x$ .

Using slopes gives $\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8};$ maximize over $x$

Solución:

Coloca $C = (0, 0),$ $B = (2, 2\sqrt{3})$ de modo que $\angle C = 60^\circ$ y $BC = 4,$ y sea $A = (x, 0)$ con $x \gt 0.$ Entonces $D = (1, \sqrt{3})$ es el punto medio de $BC.$

Los vectores $\overrightarrow{AB} = (2-x, 2\sqrt{3})$ y $\overrightarrow{AD} = (1-x, \sqrt{3})$ tienen producto vectorial de magnitud $\sqrt{3}\,x$ y producto escalar $x^2 - 3x + 8,$ que siempre es positivo. Por lo tanto $\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8}.$

La derivada tiene el signo de $8-x^2,$ así que el único máximo se alcanza en $x = 2\sqrt{2}.$ Sustituyendo, $\begin{aligned} \tan(\angle BAD) &= \dfrac{2\sqrt{6}}{16 - 6\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{8 - 3\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3}. \end{aligned}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Place $C = (0, 0),$ $B = (2, 2\sqrt{3})$ so that $\angle C = 60^\circ$ and $BC = 4,$ and let $A = (x, 0)$ with $x \gt 0.$ Then $D = (1, \sqrt{3})$ is the midpoint of $BC.$

The vectors $\overrightarrow{AB} = (2-x, 2\sqrt{3})$ and $\overrightarrow{AD} = (1-x, \sqrt{3})$ have cross-product magnitude $\sqrt{3}\,x$ and dot product $x^2 - 3x + 8,$ which is always positive. Hence $\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8}.$

The derivative has the sign of $8-x^2,$ so the unique maximum occurs at $x = 2\sqrt{2}.$ Substituting, $\begin{aligned} \tan(\angle BAD) &= \dfrac{2\sqrt{6}}{16 - 6\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{8 - 3\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3}. \end{aligned}$

Thus, D is the correct answer.

25.

Una sucesión $(a_1, b_1),$ $(a_2, b_2),$ $(a_3, b_3),$ $\ldots$ de puntos en el plano coordenado satisface $\begin{aligned} &(a_{n+1}, b_{n+1}) \\ &= \left(\sqrt{3}\,a_n - b_n,\; \sqrt{3}\,b_n + a_n\right) \\ &\quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \end{aligned}$ Supongamos que $(a_{100}, b_{100}) = (2, 4).$ ¿Cuánto vale $a_1 + b_1$ ?

A sequence $(a_1, b_1),$ $(a_2, b_2),$ $(a_3, b_3),$ $\ldots$ of points in the coordinate plane satisfies $\begin{aligned} &(a_{n+1}, b_{n+1}) \\ &= \left(\sqrt{3}\,a_n - b_n,\; \sqrt{3}\,b_n + a_n\right) \\ &\quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \end{aligned}$ Suppose that $(a_{100}, b_{100}) = (2, 4).$ What is $a_1 + b_1?$

$-\dfrac{1}{2^{97}}$

$-\dfrac{1}{2^{99}}$

$0$

$\dfrac{1}{2^{98}}$

$\dfrac{1}{2^{96}}$

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Escribe $z_n = a_n + b_n i;$ la recurrencia se convierte en $z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i)$ .

Write $z_n = a_n + b_n i;$ the recurrence becomes $z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i)$

Pista grande:

Como $\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ),$ aplica el teorema de De Moivre a $(\sqrt{3} + i)^{99}$ .

Since $\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ),$ apply De Moivre’s theorem to $(\sqrt{3} + i)^{99}$

Solución:

Sea $z_n = a_n + b_n i.$ Entonces $\begin{aligned} z_{n+1} &= (\sqrt{3}\,a_n - b_n) \\ &\quad {}+ (\sqrt{3}\,b_n + a_n)i \\ &= (a_n + b_n i)(\sqrt{3} + i), \end{aligned}$ así que $z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i)$ y $z_{100} = z_1(\sqrt{3} + i)^{99}.$

Como $\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ),$ el teorema de De Moivre da $(\sqrt{3} + i)^{99}$ $= 2^{99}(\cos 2970^\circ + i\sin 2970^\circ).$ Como $2970^\circ$ es coterminal con $90^\circ,$ esto es igual a $2^{99} i.$

Así $2 + 4i = z_1 \cdot 2^{99} i,$ de modo que $z_1 = \dfrac{2 + 4i}{2^{99} i} = \dfrac{4 - 2i}{2^{99}}.$

Entonces $a_1 = \tfrac{4}{2^{99}}$ y $b_1 = -\tfrac{2}{2^{99}},$ así que $a_1 + b_1 = \dfrac{2}{2^{99}} = \dfrac{1}{2^{98}}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $z_n = a_n + b_n i.$ Then $\begin{aligned} z_{n+1} &= (\sqrt{3}\,a_n - b_n) \\ &\quad {}+ (\sqrt{3}\,b_n + a_n)i \\ &= (a_n + b_n i)(\sqrt{3} + i), \end{aligned}$ so $z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i)$ and $z_{100} = z_1(\sqrt{3} + i)^{99}.$

Since $\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ),$ De Moivre’s theorem gives $(\sqrt{3} + i)^{99}$ $= 2^{99}(\cos 2970^\circ + i\sin 2970^\circ).$ As $2970^\circ$ is coterminal with $90^\circ,$ this equals $2^{99} i.$

Thus $2 + 4i = z_1 \cdot 2^{99} i,$ so $z_1 = \dfrac{2 + 4i}{2^{99} i} = \dfrac{4 - 2i}{2^{99}}.$

Then $a_1 = \tfrac{4}{2^{99}}$ and $b_1 = -\tfrac{2}{2^{99}},$ so $a_1 + b_1 = \dfrac{2}{2^{99}} = \dfrac{1}{2^{98}}.$

Thus, D is the correct answer.