Question

En la escuela de Rachelle una A vale $4$ puntos, una B $3$ puntos, una C $2$ puntos, y una D $1$ punto. Su GPA en las cuatro clases que cursa se calcula como la suma total de puntos dividida entre $4.$ Está segura de que obtendrá A en Matemáticas y en Ciencias, y al menos una C en cada una de Inglés e Historia. Cree que tiene $\dfrac16$ de probabilidad de obtener una A en Inglés, y $\dfrac14$ de probabilidad de obtener una B. En Historia, tiene $\dfrac14$ de probabilidad de obtener una A, y $\dfrac13$ de probabilidad de obtener una B, independientemente de lo que obtenga en Inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que Rachelle obtenga un GPA de al menos $3.5$ ?

At Rachelle's school an A counts $4$ points, a B $3$ points, a C $2$ points, and a D $1$ point. Her GPA on the four classes she is taking is computed as the total sum of points divided by $4.$ She is certain that she will get As in both Mathematics and Science, and at least a C in each of English and History. She thinks she has a $\dfrac16$ chance of getting an A in English, and a $\dfrac14$ chance of getting a B. In History, she has a $\dfrac14$ chance of getting an A, and a $\dfrac13$ chance of getting a B, independently of what she gets in English. What is the probability that Rachelle will get a GPA of at least $3.5?$

$\dfrac{11}{72}$

$\dfrac16$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{11}{24}$

$\dfrac12$

Solución:

Matemáticas y Ciencias dan $8$ puntos, así que Rachelle necesita al menos $6$ más de Inglés e Historia. La probabilidad de una C es $1 - \dfrac16 - \dfrac14 = \dfrac{7}{12}$ en Inglés y $1 - \dfrac14 - \dfrac13 = \dfrac{5}{12}$ en Historia.

Trabajando sobre un denominador de $144:$ $8$ puntos tiene probabilidad $\dfrac16\cdot\dfrac14 = \dfrac{6}{144};$ $7$ puntos tiene $\dfrac16\cdot\dfrac13 + \dfrac14\cdot\dfrac14 = \dfrac{17}{144};$ y $6$ puntos tiene $\dfrac16\cdot\dfrac{5}{12} + \dfrac14\cdot\dfrac13$ $+ \dfrac{7}{12}\cdot\dfrac14 = \dfrac{43}{144}.$

El total es $\dfrac{6 + 17 + 43}{144} = \dfrac{66}{144} = \dfrac{11}{24}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Math and Science give $8$ points, so Rachelle needs at least $6$ more from English and History. The chance of a C is $1 - \dfrac16 - \dfrac14 = \dfrac{7}{12}$ in English and $1 - \dfrac14 - \dfrac13 = \dfrac{5}{12}$ in History.

Working over a denominator of $144:$ $8$ points has probability $\dfrac16\cdot\dfrac14 = \dfrac{6}{144};$ $7$ points has $\dfrac16\cdot\dfrac13 + \dfrac14\cdot\dfrac14 = \dfrac{17}{144};$ and $6$ points has $\dfrac16\cdot\dfrac{5}{12} + \dfrac14\cdot\dfrac13$ $+ \dfrac{7}{12}\cdot\dfrac14 = \dfrac{43}{144}.$

The total is $\dfrac{6 + 17 + 43}{144} = \dfrac{66}{144} = \dfrac{11}{24}.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años