Question

Cuando $p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k,$ el número $e^p$ es un entero. ¿Cuál es la mayor potencia de $2$ que es factor de $e^p$ ?

When $p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k,$ the number $e^p$ is an integer. What is the largest power of $2$ that is a factor of $e^p?$

$2^{12}$

$2^{14}$

$2^{16}$

$2^{18}$

$2^{20}$

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo factorización en primos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

$k \ln k = \ln(k^k),$ así que $e^p = \prod_{k=1}^{6} k^k$ .

$k \ln k = \ln(k^k),$ so $e^p = \prod_{k=1}^{6} k^k$

Pista grande:

Solo $2^2,$ $4^4,$ y $6^6$ aportan factores de $2$ .

Only $2^2,$ $4^4,$ and $6^6$ contribute factors of $2$

Solución:

Como $k \ln k = \ln(k^k),$ la suma da $p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right),$ así que $e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6.$

Los factores de $2$ provienen de $2^2$ (que aporta $2$ ), $4^4 = 2^8$ (que aporta $8$ ), y $6^6 = 2^6 \cdot 3^6$ (que aporta $6$ ). En total el exponente de $2$ es $2 + 8 + 6 = 16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $k \ln k = \ln(k^k),$ the sum gives $p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right),$ so $e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6.$

The factors of $2$ come from $2^2$ (giving $2$ ), $4^4 = 2^8$ (giving $8$ ), and $6^6 = 2^6 \cdot 3^6$ (giving $6$ ). In total the exponent of $2$ is $2 + 8 + 6 = 16.$

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12B Problema 15

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años