Question

Sobre cada lado de un cuadrado unitario se construye un triángulo equilátero de lado $1$ . Sobre cada nuevo lado de cada triángulo equilátero se construye otro triángulo equilátero de lado $1$ . Los interiores del cuadrado y de los $12$ triángulos no tienen puntos en común. Sea $R$ la región formada por la unión del cuadrado y todos los triángulos, y sea $S$ el menor polígono convexo que contiene a $R.$ ¿Cuál es el área de la región que está dentro de $S$ pero fuera de $R$ ?

On each side of a unit square, an equilateral triangle of side length $1$ is constructed. On each new side of each equilateral triangle, another equilateral triangle of side length $1$ is constructed. The interiors of the square and the $12$ triangles have no points in common. Let $R$ be the region formed by the union of the square and all the triangles, and let $S$ be the smallest convex polygon that contains $R.$ What is the area of the region that is inside $S$ but outside $R?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$1$

$\sqrt{3}$

$2\sqrt{3}$

Solución:

La envolvente convexa $S$ difiere de $R$ solo cerca de las cuatro esquinas del cuadrado, donde se forma un pequeño hueco triangular. Cada triángulo del hueco tiene dos lados de longitud $1$ (los bordes exteriores de triángulos adyacentes).

El ángulo entre esos dos lados es $360^\circ - 90^\circ - 4 \cdot 60^\circ = 30^\circ,$ así que cada hueco tiene área $\tfrac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 30^\circ = \tfrac14.$

El área total es $4 \cdot \tfrac14 = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The convex hull $S$ differs from $R$ only near the four corners of the square, where a small triangular gap forms. Each gap triangle has two sides of length $1$ (outer edges of adjacent triangles).

The angle between those two sides is $360^\circ - 90^\circ - 4 \cdot 60^\circ = 30^\circ,$ so each gap has area $\tfrac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 30^\circ = \tfrac14.$

The total area is $4 \cdot \tfrac14 = 1.$

Thus, the correct answer is C.

2008 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años