Question

Un triángulo en el plano de coordenadas tiene vértices $A(\log_2 1, \log_2 2),$ $B(\log_2 3, \log_2 4),$ y $C(\log_2 7, \log_2 8).$ ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ?

A triangle in the coordinate plane has vertices $A(\log_2 1, \log_2 2),$ $B(\log_2 3, \log_2 4),$ and $C(\log_2 7, \log_2 8).$ What is the area of $\triangle ABC?$

$\log_2 \dfrac{\sqrt3}{7}$

$\log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}$

$\log_2 \dfrac{7}{\sqrt3}$

$\log_2 \dfrac{11}{\sqrt7}$

$\log_2 \dfrac{11}{\sqrt3}$

Solución:

Los vértices son $A = (0, 1),$ $B = (\log_2 3, 2),$ $C = (\log_2 7, 3).$ Por la fórmula del cordón, $\begin{aligned} [\triangle ABC] &= \tiny \tfrac12\,\bigl|0(2 - 3) + \log_2 3\,(3 - 1) + \log_2 7\,(1 - 2)\bigr| \\ &= \tfrac12\,\bigl|2\log_2 3 - \log_2 7\bigr|. \end{aligned}$

Esto es igual a $\tfrac12\log_2 \dfrac{9}{7} = \log_2 \sqrt{\tfrac{9}{7}} = \log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The vertices are $A = (0, 1),$ $B = (\log_2 3, 2),$ $C = (\log_2 7, 3).$ By the shoelace formula, $\begin{aligned} [\triangle ABC] &= \tiny \tfrac12\,\bigl|0(2 - 3) + \log_2 3\,(3 - 1) + \log_2 7\,(1 - 2)\bigr| \\ &= \tfrac12\,\bigl|2\log_2 3 - \log_2 7\bigr|. \end{aligned}$

This equals $\tfrac12\log_2 \dfrac{9}{7} = \log_2 \sqrt{\tfrac{9}{7}} = \log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}.$

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años