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2010 AMC 12A Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2010 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Una moneda se altera de modo que la probabilidad de que caiga en cara es menor que 12,\dfrac12, y cuando la moneda se lanza cuatro veces, la probabilidad de un número igual de caras y cruces es 16.\dfrac{1}{6}. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga en cara?

A coin is altered so that the probability that it lands on heads is less than 12,\dfrac12, and when the coin is flipped four times, the probability of an equal number of heads and tails is 16.\dfrac{1}{6}. What is the probability that the coin lands on heads?

15−36\dfrac{\sqrt{15}-3}{6}

6−66+212\dfrac{6-\sqrt{6\sqrt6+2}}{12}

2−12\dfrac{\sqrt2-1}{2}

3−36\dfrac{3-\sqrt3}{6}

3−12\dfrac{\sqrt3-1}{2}

Respuesta: D
Conceptos:probabilidad binomialcuadrática
Nivel de dificultad: 1650
Pista pequeña:

La probabilidad de dos caras y dos cruces es (42)p2(1−p)2\binom{4}{2}p^2(1-p)^2.

The chance of two heads and two tails is (42)p2(1−p)2\binom{4}{2}p^2(1-p)^2

Pista grande:

Esto se reduce a p(1−p)=16;p(1-p)=\dfrac16; resuelve la ecuación cuadrática y toma la raíz con p<12p\lt\dfrac12.

This reduces to p(1−p)=16;p(1-p)=\dfrac16; solve the quadratic and take the root with p<12p\lt\dfrac12

Solución:

Sea pp la probabilidad de cara. La probabilidad de dos caras y dos cruces en cuatro lanzamientos es (42)p2(1−p)2=6p2(1−p)2=16. \begin{aligned} \binom{4}{2}p^2(1-p)^2 &= 6p^2(1-p)^2 \\ &= \frac16. \end{aligned}

Así que p2(1−p)2=136,p^2(1-p)^2=\dfrac{1}{36}, por lo tanto p(1−p)=16.p(1-p)=\dfrac16.

Esto da 6p2−6p+1=0,6p^2-6p+1=0, así que p=3±36.p=\dfrac{3\pm\sqrt3}{6}. Como p<12,p\lt\dfrac12, tomamos p=3−36.p=\dfrac{3-\sqrt3}{6}.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let pp be the probability of heads. The chance of two heads and two tails in four flips is (42)p2(1−p)2=6p2(1−p)2=16. \begin{aligned} \binom{4}{2}p^2(1-p)^2 &= 6p^2(1-p)^2 \\ &= \frac16. \end{aligned}

Thus p2(1−p)2=136,p^2(1-p)^2=\dfrac{1}{36}, so p(1−p)=16.p(1-p)=\dfrac16.

This gives 6p2−6p+1=0,6p^2-6p+1=0, so p=3±36.p=\dfrac{3\pm\sqrt3}{6}. Since p<12,p\lt\dfrac12, we take p=3−36.p=\dfrac{3-\sqrt3}{6}.

Thus, D is the correct answer.

Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

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