Question

Una moneda se altera de modo que la probabilidad de que caiga en cara es menor que $\dfrac12,$ y cuando la moneda se lanza cuatro veces, la probabilidad de un número igual de caras y cruces es $\dfrac{1}{6}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga en cara?

A coin is altered so that the probability that it lands on heads is less than $\dfrac12,$ and when the coin is flipped four times, the probability of an equal number of heads and tails is $\dfrac{1}{6}.$ What is the probability that the coin lands on heads?

$\dfrac{\sqrt{15}-3}{6}$

$\dfrac{6-\sqrt{6\sqrt6+2}}{12}$

$\dfrac{\sqrt2-1}{2}$

$\dfrac{3-\sqrt3}{6}$

$\dfrac{\sqrt3-1}{2}$

Solución:

Sea $p$ la probabilidad de cara. La probabilidad de dos caras y dos cruces en cuatro lanzamientos es $\begin{aligned} \binom{4}{2}p^2(1-p)^2 &= 6p^2(1-p)^2 \\ &= \frac16. \end{aligned}$

Así que $p^2(1-p)^2=\dfrac{1}{36},$ por lo tanto $p(1-p)=\dfrac16.$

Esto da $6p^2-6p+1=0,$ así que $p=\dfrac{3\pm\sqrt3}{6}.$ Como $p\lt\dfrac12,$ tomamos $p=\dfrac{3-\sqrt3}{6}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $p$ be the probability of heads. The chance of two heads and two tails in four flips is $\begin{aligned} \binom{4}{2}p^2(1-p)^2 &= 6p^2(1-p)^2 \\ &= \frac16. \end{aligned}$

Thus $p^2(1-p)^2=\dfrac{1}{36},$ so $p(1-p)=\dfrac16.$

This gives $6p^2-6p+1=0,$ so $p=\dfrac{3\pm\sqrt3}{6}.$ Since $p\lt\dfrac12,$ we take $p=\dfrac{3-\sqrt3}{6}.$

Thus, D is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años