Question

Sea $f(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x,$ usando la medida en radianes para la variable $x.$ ¿En qué intervalo se encuentra el menor valor positivo de $x$ para el cual $f(x)=0$ ?

Let $f(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x,$ using radian measure for the variable $x.$ In what interval does the smallest positive value of $x$ for which $f(x)=0$ lie?

$(0,1)$

$(1,2)$

$(2,3)$

$(3,4)$

$(4,5)$

Solución:

Para $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ los tres términos son positivos, así que $f(x)\gt0.$ Para $\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi,$ $\tan x$ es negativo y domina, manteniendo $f(x)\lt0.$ Así que no hay raíz antes de $x=\pi.$

En $x=\pi,$ $f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0.$ En $x=\dfrac{5\pi}{4},$ $\tan x=1$ así que $f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0.$ Por el teorema del valor intermedio la menor raíz positiva está en $\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right).$

Como $\pi\gt3$ y $\dfrac{5\pi}{4}\lt4,$ este intervalo está dentro de $(3,4).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ all three terms are positive, so $f(x)\gt0.$ For $\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi,$ $\tan x$ is negative and dominates, keeping $f(x)\lt0.$ So no root occurs before $x=\pi.$

At $x=\pi,$ $f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0.$ At $x=\dfrac{5\pi}{4},$ $\tan x=1$ so $f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0.$ By the intermediate value theorem the smallest positive root lies in $\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right).$

Since $\pi\gt3$ and $\dfrac{5\pi}{4}\lt4,$ this interval sits inside $(3,4).$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años