Question

La serie geométrica $a+ar+ar^2+\cdots$ tiene una suma de $7,$ y los términos que involucran potencias impares de $r$ tienen una suma de $3.$ ¿Cuánto vale $a+r$ ?

The geometric series $a+ar+ar^2+\cdots$ has a sum of $7,$ and the terms involving odd powers of $r$ have a sum of $3.$ What is $a+r?$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{7}{3}$

$\dfrac{5}{2}$

Solución:

Los términos de potencia impar son $ar+ar^3+\cdots$ $=r(a+ar^2+\cdots),$ es decir, $r$ veces los términos de potencia par. Los términos de potencia par suman $7-3=4.$

Así que $3=4r,$ lo que da $r=\tfrac34.$ Entonces $a=7(1-r)=\tfrac74,$ y $a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The odd-power terms are $ar+ar^3+\cdots$ $=r(a+ar^2+\cdots),$ that is, $r$ times the even-power terms. The even-power terms sum to $7-3=4.$

So $3=4r,$ giving $r=\tfrac34.$ Then $a=7(1-r)=\tfrac74,$ and $a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52.$

Thus, the correct answer is E.

2007 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años