Question

Un conjunto de números se llama libre de sumas si siempre que $x$ y $y$ son elementos (no necesariamente distintos) del conjunto, $x + y$ no es un elemento del conjunto. Por ejemplo, $\{1, 4, 6\}$ y el conjunto vacío son libres de sumas, pero $\{2, 4, 5\}$ no lo es. ¿Cuál es el mayor número posible de elementos de un subconjunto libre de sumas de $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ ?

A set of numbers is called sum-free if whenever $x$ and $y$ are (not necessarily distinct) elements of the set, $x + y$ is not an element of the set. For example, $\{1, 4, 6\}$ and the empty set are sum-free, but $\{2, 4, 5\}$ is not. What is the greatest possible number of elements in a sum-free subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: C

Conceptos:subconjuntos argumento extremal

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

El conjunto $\{11, 12, \ldots, 20\}$ es libre de sumas

The set $\{11, 12, \ldots, 20\}$ is sum-free

Pista grande:

Si $a_1 \lt \cdots \lt a_k$ están en $S,$ las diferencias $a_k - a_i$ no están en $S,$ lo que fuerza $2k - 1 \le 20$

If $a_1 \lt \cdots \lt a_k$ are in $S,$ the differences $a_k - a_i$ are not in $S,$ forcing $2k - 1 \le 20$

Solución:

El conjunto $\{11, 12, \ldots, 20\}$ tiene $10$ elementos y es libre de sumas, ya que dos elementos cualesquiera suman al menos $22 \gt 20.$

Para la cota superior, sea $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k$ un subconjunto libre de sumas. Cada diferencia $a_k - a_i$ para $i \lt k$ no puede estar en $S,$ porque $(a_k - a_i) + a_i = a_k \in S$ violaría la propiedad de ser libre de sumas.

Estas $k - 1$ diferencias son distintas, están en $\{1, \ldots, 19\},$ y son disjuntas de los $k$ elementos de $S.$ Así que $k + (k - 1) \le 20,$ dando $k \le 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The set $\{11, 12, \ldots, 20\}$ has $10$ elements and is sum-free, since any two elements sum to at least $22 \gt 20.$

For the upper bound, let $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k$ be a sum-free subset. Each difference $a_k - a_i$ for $i \lt k$ cannot lie in $S,$ because $(a_k - a_i) + a_i = a_k \in S$ would violate sum-freeness.

These $k - 1$ differences are distinct, lie in $\{1, \ldots, 19\},$ and are disjoint from the $k$ elements of $S.$ So $k + (k - 1) \le 20,$ giving $k \le 10.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A Problema 15

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años