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2025 AMC 12A Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2025 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2025 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

El triángulo △ABC\triangle ABC tiene lados AB=80,AB = 80, BC=45,BC = 45, y AC=75.AC = 75. La bisectriz de ∠B\angle B y la altura al lado ABAB se cortan en el punto P.P. ¿Cuánto vale BPBP?

Triangle △ABC\triangle ABC has side lengths AB=80,AB = 80, BC=45,BC = 45, and AC=75.AC = 75. The bisector of ∠B\angle B and the altitude to side ABAB intersect at point P.P. What is BP?BP?

1818

1919

2020

2121

2222

Respuesta: D
Conceptos:ley de los cosenosbisectrizidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 1840
Pista pequeña:

cos⁡B=802+452−7522⋅80⋅45=718\cos B = \dfrac{80^2 + 45^2 - 75^2}{2 \cdot 80 \cdot 45} = \dfrac{7}{18}

Pista grande:

El pie de la altura está a BCcos⁡B=17.5BC\cos B = 17.5 de BB a lo largo de AB,AB, y BPcos⁡B2=17.5BP\cos\tfrac{B}{2} = 17.5

The altitude’s foot is BCcos⁡B=17.5BC\cos B = 17.5 from BB along AB,AB, and BPcos⁡B2=17.5BP\cos\tfrac{B}{2} = 17.5

Solución:

Por la ley de cosenos, cos⁡B=802+452−7522⋅80⋅45=28007200=718. \begin{aligned} \cos B &= \frac{80^2 + 45^2 - 75^2}{2 \cdot 80 \cdot 45} \\ &= \frac{2800}{7200} = \frac{7}{18}. \end{aligned}

La altura al lado ABAB se traza desde C,C, y su pie está a distancia BCcos⁡B=45⋅718=17.5BC\cos B = 45 \cdot \dfrac{7}{18} = 17.5 de BB a lo largo de AB.AB.

A lo largo de la bisectriz desde B,B, la componente paralela a ABAB es BPcos⁡B2,BP\cos\dfrac{B}{2}, que debe alcanzar el pie de la altura: BPcos⁡B2=17.5.BP\cos\dfrac{B}{2} = 17.5.

Como cos⁡B2=1+7182\cos\dfrac{B}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \frac{7}{18}}{2}} =2536= \sqrt{\dfrac{25}{36}} =56,= \dfrac{5}{6}, obtenemos BP=17.556=21.BP = \dfrac{17.5}{\frac{5}{6}} = 21.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the Law of Cosines, cos⁡B=802+452−7522⋅80⋅45=28007200=718. \begin{aligned} \cos B &= \frac{80^2 + 45^2 - 75^2}{2 \cdot 80 \cdot 45} \\ &= \frac{2800}{7200} = \frac{7}{18}. \end{aligned}

The altitude to ABAB is drawn from C,C, and its foot is at distance BCcos⁡B=45⋅718=17.5BC\cos B = 45 \cdot \dfrac{7}{18} = 17.5 from BB along AB.AB.

Along the bisector from B,B, the component parallel to ABAB is BPcos⁡B2,BP\cos\dfrac{B}{2}, which must reach the altitude’s foot: BPcos⁡B2=17.5.BP\cos\dfrac{B}{2} = 17.5.

Since cos⁡B2=1+7182\cos\dfrac{B}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \frac{7}{18}}{2}} =2536= \sqrt{\dfrac{25}{36}} =56,= \dfrac{5}{6}, we get BP=17.556=21.BP = \dfrac{17.5}{\frac{5}{6}} = 21.

Thus, the correct answer is D.

Problema 15#15
Examen completo
Problema 17#17

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