Question

El triángulo $\triangle ABC$ tiene lados $AB = 80,$ $BC = 45,$ y $AC = 75.$ La bisectriz de $\angle B$ y la altura al lado $AB$ se cortan en el punto $P.$ ¿Cuánto vale $BP$ ?

Triangle $\triangle ABC$ has side lengths $AB = 80,$ $BC = 45,$ and $AC = 75.$ The bisector of $\angle B$ and the altitude to side $AB$ intersect at point $P.$ What is $BP?$

$18$

$19$

$20$

$21$

$22$

Solución:

Por la ley de cosenos, $\begin{aligned} \cos B &= \frac{80^2 + 45^2 - 75^2}{2 \cdot 80 \cdot 45} \\ &= \frac{2800}{7200} = \frac{7}{18}. \end{aligned}$

La altura al lado $AB$ se traza desde $C,$ y su pie está a distancia $BC\cos B = 45 \cdot \dfrac{7}{18} = 17.5$ de $B$ a lo largo de $AB.$

A lo largo de la bisectriz desde $B,$ la componente paralela a $AB$ es $BP\cos\dfrac{B}{2},$ que debe alcanzar el pie de la altura: $BP\cos\dfrac{B}{2} = 17.5.$

Como $\cos\dfrac{B}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + 7/18}{2}}$ $= \sqrt{\dfrac{25}{36}}$ $= \dfrac{5}{6},$ obtenemos $BP = \dfrac{17.5}{5/6} = 21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the Law of Cosines, $\begin{aligned} \cos B &= \frac{80^2 + 45^2 - 75^2}{2 \cdot 80 \cdot 45} \\ &= \frac{2800}{7200} = \frac{7}{18}. \end{aligned}$

The altitude to $AB$ is drawn from $C,$ and its foot is at distance $BC\cos B = 45 \cdot \dfrac{7}{18} = 17.5$ from $B$ along $AB.$

Along the bisector from $B,$ the component parallel to $AB$ is $BP\cos\dfrac{B}{2},$ which must reach the altitude's foot: $BP\cos\dfrac{B}{2} = 17.5.$

Since $\cos\dfrac{B}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + 7/18}{2}}$ $= \sqrt{\dfrac{25}{36}}$ $= \dfrac{5}{6},$ we get $BP = \dfrac{17.5}{5/6} = 21.$

Thus, the correct answer is D.

2025 AMC 12A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años