Question

El polinomio $(z + i)(z + 2i)(z + 3i) + 10$ tiene tres raíces en el plano complejo, donde $i = \sqrt{-1}.$ ¿Cuál es el área del triángulo formado por estas raíces?

The polynomial $(z + i)(z + 2i)(z + 3i) + 10$ has three roots in the complex plane, where $i = \sqrt{-1}.$ What is the area of the triangle formed by these roots?

$6$

$8$

$10$

$12$

$14$

Solución:

La suma de las raíces es $-6i,$ así que el centroide es $-2i.$ Sustituyendo $z = u - 2i,$ $\begin{gathered} (u - i)(u)(u + i) + 10 \\ = u(u^2 + 1) + 10 \\ = u^3 + u + 10. \end{gathered}$

Como $u = -2$ es una raíz, $u^3 + u + 10$ $= (u + 2)(u^2 - 2u + 5),$ dando las raíces $u = -2$ y $u = 1 \pm 2i.$

Estos son los puntos $(-2, 0),$ $(1, 2),$ $(1, -2).$ La base entre $(1, 2)$ y $(1, -2)$ tiene longitud $4,$ a distancia horizontal $3$ de $(-2, 0),$ así que el área es $\dfrac{1}{2}(4)(3) = 6.$ La traslación no cambia el área.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum of the roots is $-6i,$ so the centroid is $-2i.$ Substituting $z = u - 2i,$ $\begin{gathered} (u - i)(u)(u + i) + 10 \\ = u(u^2 + 1) + 10 \\ = u^3 + u + 10. \end{gathered}$

Since $u = -2$ is a root, $u^3 + u + 10$ $= (u + 2)(u^2 - 2u + 5),$ giving roots $u = -2$ and $u = 1 \pm 2i.$

These are the points $(-2, 0),$ $(1, 2),$ $(1, -2).$ The base between $(1, 2)$ and $(1, -2)$ has length $4,$ at horizontal distance $3$ from $(-2, 0),$ so the area is $\dfrac{1}{2}(4)(3) = 6.$ Translation does not change the area.

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años