Question

Hay $24$ números complejos diferentes $z$ tales que $z^{24}=1.$ ¿Para cuántos de ellos $z^6$ es un número real?

There are $24$ different complex numbers $z$ such that $z^{24}=1.$ For how many of these is $z^6$ a real number?

$0$

$4$

$6$

$12$

$24$

Solución:

Las $24$ soluciones son las raíces $24$ -ésimas de la unidad, $z=e^{\pi i k/12}$ para $k=0,1,\ldots,23.$

Entonces $z^6=e^{\pi i k/2}=\cos\dfrac{k\pi}{2}+i\sin\dfrac{k\pi}{2},$ que es real exactamente cuando $\sin\dfrac{k\pi}{2}=0,$ es decir, cuando $k$ es par. Hay $12$ valores pares de $k$ en el rango.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The $24$ solutions are the $24$ th roots of unity, $z=e^{\pi i k/12}$ for $k=0,1,\ldots,23.$

Then $z^6=e^{\pi i k/2}=\cos\dfrac{k\pi}{2}+i\sin\dfrac{k\pi}{2},$ which is real exactly when $\sin\dfrac{k\pi}{2}=0,$ i.e. when $k$ is even. There are $12$ even values of $k$ in the range.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años