Question

Las entradas de un arreglo $3\times3$ incluyen todos los dígitos del $1$ al $9,$ dispuestos de modo que las entradas de cada fila y columna estén en orden creciente. ¿Cuántos de estos arreglos hay?

The entries in a $3\times3$ array include all the digits from $1$ through $9,$ arranged so that the entries in every row and column are in increasing order. How many such arrays are there?

$18$

$24$

$36$

$42$

$60$

Solución:

Escribe $a_{ij}$ para la entrada en la fila $i,$ columna $j.$ Las condiciones fuerzan $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ y $a_{22}\in\{4,5,6\}.$

Si $a_{22}=4,$ entonces $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}$ y $\{5,6,7,8\}$ se divide en pares complementarios que llenan el resto de la última fila y columna: $\binom42=6$ divisiones por $2$ órdenes para $\{2,3\}$ da $12$ arreglos. Por simetría $a_{22}=6$ también da $12.$

Si $a_{22}=5,$ entonces $\{a_{12},a_{13},a_{23}\}$ y $\{a_{21},a_{31},a_{32}\}$ son subconjuntos complementarios de $\{2,3,4,6,7,8\}$ sujetos a las restricciones de orden, lo que fuerza que el primer conjunto sea $\{2,3,4\}$ o $\{6,7,8\};$ esto da $\binom63-2=18$ arreglos.

En total $12+12+18=42.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $a_{ij}$ for the entry in row $i,$ column $j.$ The conditions force $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ and $a_{22}\in\{4,5,6\}.$

If $a_{22}=4,$ then $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}$ and $\{5,6,7,8\}$ split as complementary pairs filling the rest of the last row and column: $\binom42=6$ splits times $2$ orders for $\{2,3\}$ gives $12$ arrays. By symmetry $a_{22}=6$ also gives $12.$

If $a_{22}=5,$ then $\{a_{12},a_{13},a_{23}\}$ and $\{a_{21},a_{31},a_{32}\}$ are complementary subsets of $\{2,3,4,6,7,8\}$ subject to the ordering constraints, forcing the first set to be $\{2,3,4\}$ or $\{6,7,8\};$ this gives $\binom63-2=18$ arrays.

Altogether $12+12+18=42.$

Thus, the correct answer is D.

2010 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años