Question

Los vértices de un cuadrilátero están en la gráfica de $y = \ln x,$ y las coordenadas $x$ de estos vértices son enteros positivos consecutivos. El área del cuadrilátero es $\ln\dfrac{91}{90}.$ ¿Cuál es la coordenada $x$ del vértice más a la izquierda?

The vertices of a quadrilateral lie on the graph of $y = \ln x,$ and the $x$ -coordinates of these vertices are consecutive positive integers. The area of the quadrilateral is $\ln\dfrac{91}{90}.$ What is the $x$ -coordinate of the leftmost vertex?

$6$

$7$

$10$

$12$

$13$

Solución:

Sean los vértices con coordenadas $x$ iguales a $n, n+1, n+2, n+3$ y coordenadas $y$ iguales a $\ln$ de esos valores. Aplicando la fórmula del cordón de zapato y simplificando, el área es $\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}.$

Haciendo $\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90}$ se obtiene $1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90},$ así que $n^2 + 3n = 180.$

Entonces $(n - 12)(n + 15) = 0,$ así que $n = 12.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the vertices have $x$ -coordinates $n, n+1, n+2, n+3$ with $y$ -coordinates $\ln$ of those values. Applying the shoelace formula and simplifying, the area is $\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}.$

Setting $\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90}$ gives $1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90},$ so $n^2 + 3n = 180.$

Then $(n - 12)(n + 15) = 0,$ so $n = 12.$

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años