Question

¿Para cuántos pares ordenados $(b, c)$ de enteros positivos ni $x^2 + bx + c = 0$ ni $x^2 + cx + b = 0$ tienen dos soluciones reales distintas?

For how many ordered pairs $(b, c)$ of positive integers does neither $x^2 + bx + c = 0$ nor $x^2 + cx + b = 0$ have two distinct real solutions?

$4$

$6$

$8$

$12$

$16$

Solución:

Ninguna de las cuadráticas tiene dos raíces reales distintas exactamente cuando ambos discriminantes son no positivos: $b^2 \le 4c$ y $c^2 \le 4b.$

Multiplicando da $b^2c^2 \le 16bc,$ así que $bc \le 16,$ lo que obliga a valores pequeños. Verificando: $b = 1$ da $c \in \{1,2\};$ $b = 2$ da $c \in \{1,2\};$ $b = 3$ da $c = 3;$ $b = 4$ da $c = 4;$ y $b \ge 5$ no da ninguno.

Estos son $(1,1),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(2,2),$ $(3,3),$ $(4,4)$ , es decir $6$ pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Neither quadratic has two distinct real roots exactly when both discriminants are nonpositive: $b^2 \le 4c$ and $c^2 \le 4b.$

Multiplying gives $b^2c^2 \le 16bc,$ so $bc \le 16,$ forcing small values. Checking: $b = 1$ gives $c \in \{1,2\};$ $b = 2$ gives $c \in \{1,2\};$ $b = 3$ gives $c = 3;$ $b = 4$ gives $c = 4;$ and $b \ge 5$ gives none.

That is $(1,1),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(2,2),$ $(3,3),$ $(4,4)$ — $6$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Fall Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años