Question

¿Para cuántos pares ordenados $(b, c)$ de enteros positivos ni $x^2 + bx + c = 0$ ni $x^2 + cx + b = 0$ tienen dos soluciones reales distintas?

For how many ordered pairs $(b, c)$ of positive integers does neither $x^2 + bx + c = 0$ nor $x^2 + cx + b = 0$ have two distinct real solutions?

$4$

$6$

$8$

$12$

$16$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática desigualdad

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

“Sin dos soluciones reales distintas” significa que cada discriminante es $\le 0:$ $b^2 \le 4c$ y $c^2 \le 4b$ .

“No two distinct real solutions” means each discriminant is $\le 0:$ $b^2 \le 4c$ and $c^2 \le 4b$

Pista grande:

Multiplicando da $b^2c^2 \le 16bc,$ así que $bc \le 16;$ prueba enteros positivos pequeños

Multiplying gives $b^2c^2 \le 16bc,$ so $bc \le 16;$ test small positive integers

Solución:

Ninguna cuadrática tiene dos raíces reales distintas exactamente cuando ambos discriminantes son no positivos: $b^2 \le 4c$ y $c^2 \le 4b.$

Al combinar $c\ge \frac{b^2}{4}$ con $c\le2\sqrt b$ , obtenemos $b^{\frac{3}{2}}\le8,$ así que $b\le4.$ Comprobando: $b = 1$ da $c \in \{1,2\};$ $b = 2$ da $c \in \{1,2\};$ $b = 3$ da $c = 3;$ y $b = 4$ da $c = 4.$

Estos son $(1,1),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(2,2),$ $(3,3),$ $(4,4)$ : $6$ pares ordenados.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Neither quadratic has two distinct real roots exactly when both discriminants are nonpositive: $b^2 \le 4c$ and $c^2 \le 4b.$

Combining $c\ge \frac{b^2}{4}$ with $c\le2\sqrt b$ gives $b^{\frac{3}{2}}\le8,$ so $b\le4.$ Checking: $b = 1$ gives $c \in \{1,2\};$ $b = 2$ gives $c \in \{1,2\};$ $b = 3$ gives $c = 3;$ and $b = 4$ gives $c = 4.$

That is $(1,1),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(2,2),$ $(3,3),$ $(4,4)$ — $6$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Fall Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años