Question

El cuadrado $PQRS$ está en el primer cuadrante. Los puntos $(3, 0),$ $(5, 0),$ $(7, 0),$ y $(13, 0)$ están en las rectas $SP,$ $RQ,$ $PQ,$ y $SR,$ respectivamente. ¿Cuál es la suma de las coordenadas del centro del cuadrado $PQRS$ ?

Square $PQRS$ lies in the first quadrant. Points $(3, 0),$ $(5, 0),$ $(7, 0),$ and $(13, 0)$ lie on lines $SP,$ $RQ,$ $PQ,$ and $SR,$ respectively. What is the sum of the coordinates of the center of the square $PQRS?$

$6$

$6.2$

$6.4$

$6.6$

$6.8$

Solución:

Sea $\theta$ el ángulo agudo que la recta $PQ$ forma con el eje $x$ . Los lados $SR=PQ$ cubren el segmento de $(3,0)$ a $(5,0)$ como $2\cos\theta,$ mientras que $SP=QR$ cubren el segmento de $(7,0)$ a $(13,0)$ como $6\sin\theta.$

Como el cuadrado tiene lados iguales, $2\cos\theta=6\sin\theta,$ así que $\tan\theta=\tfrac13.$ Por lo tanto las rectas $SP,RQ$ tienen pendiente $3$ y las rectas $SR,PQ$ tienen pendiente $-\tfrac13.$

El centro está sobre la recta que pasa por $(4,0)$ con pendiente $3$ y sobre la recta que pasa por $(10,0)$ con pendiente $-\tfrac13:$ $y=3(x-4),$ $y=-\tfrac13(x-10).$ Estas se cortan en $(4.6,1.8).$

La suma de las coordenadas es $4.6+1.8=6.4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $\theta$ be the acute angle line $PQ$ makes with the $x$ -axis. Sides $SR=PQ$ span the segment from $(3,0)$ to $(5,0)$ as $2\cos\theta,$ while $SP=QR$ span the segment from $(7,0)$ to $(13,0)$ as $6\sin\theta.$

Since the square has equal sides, $2\cos\theta=6\sin\theta,$ so $\tan\theta=\tfrac13.$ Thus lines $SP,RQ$ have slope $3$ and lines $SR,PQ$ have slope $-\tfrac13.$

The center lies on the line through $(4,0)$ with slope $3$ and the line through $(10,0)$ with slope $-\tfrac13:$ $y=3(x-4),$ $y=-\tfrac13(x-10).$ These meet at $(4.6,1.8).$

The sum of the coordinates is $4.6+1.8=6.4.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años