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2012 AMC 12B Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2012 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

El cuadrado PQRSPQRS está en el primer cuadrante. Los puntos (3,0),(3, 0), (5,0),(5, 0), (7,0),(7, 0), y (13,0)(13, 0) están en las rectas SP,SP, RQ,RQ, PQ,PQ, y SR,SR, respectivamente. ¿Cuál es la suma de las coordenadas del centro del cuadrado PQRSPQRS?

Square PQRSPQRS lies in the first quadrant. Points (3,0),(3, 0), (5,0),(5, 0), (7,0),(7, 0), and (13,0)(13, 0) lie on lines SP,SP, RQ,RQ, PQ,PQ, and SR,SR, respectively. What is the sum of the coordinates of the center of the square PQRS?PQRS?

66

6.26.2

6.46.4

6.66.6

6.86.8

Respuesta: C
Conceptos:geometría analíticapendientesistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:

Sea θ\theta el ángulo que la recta PQPQ forma con el eje xx; la condición del cuadrado relaciona las proyecciones de los segmentos dados

Let θ\theta be the angle line PQPQ makes with the xx-axis; the square condition relates the projections of the given segments

Pista grande:

De 2cos⁡θ=6sin⁡θ2\cos\theta=6\sin\theta obtén tan⁡θ=13,\tan\theta=\tfrac13, luego interseca las dos rectas que pasan por los puntos medios (4,0)(4,0) y (10,0)(10,0)

From 2cos⁡θ=6sin⁡θ2\cos\theta=6\sin\theta get tan⁡θ=13,\tan\theta=\tfrac13, then intersect the two lines through the midpoints (4,0)(4,0) and (10,0)(10,0)

Solución:

Sea θ\theta el ángulo agudo que la recta PQPQ forma con el eje xx. Los lados SR=PQSR=PQ cubren el segmento de (3,0)(3,0) a (5,0)(5,0) como 2cos⁡θ,2\cos\theta, mientras que SP=QRSP=QR cubren el segmento de (7,0)(7,0) a (13,0)(13,0) como 6sin⁡θ.6\sin\theta.

Como el cuadrado tiene lados iguales, 2cos⁡θ=6sin⁡θ,2\cos\theta=6\sin\theta, así que tan⁡θ=13.\tan\theta=\tfrac13. Por lo tanto las rectas SP,RQSP,RQ tienen pendiente 33 y las rectas SR,PQSR,PQ tienen pendiente −13.-\tfrac13.

El centro está sobre la recta que pasa por (4,0)(4,0) con pendiente 33 y sobre la recta que pasa por (10,0)(10,0) con pendiente −13:-\tfrac13: y=3(x−4),y=3(x-4), y=−13(x−10).y=-\tfrac13(x-10). Estas se cortan en (4.6,1.8).(4.6,1.8).

La suma de las coordenadas es 4.6+1.8=6.4.4.6+1.8=6.4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let θ\theta be the acute angle line PQPQ makes with the xx-axis. Sides SR=PQSR=PQ span the segment from (3,0)(3,0) to (5,0)(5,0) as 2cos⁡θ,2\cos\theta, while SP=QRSP=QR span the segment from (7,0)(7,0) to (13,0)(13,0) as 6sin⁡θ.6\sin\theta.

Since the square has equal sides, 2cos⁡θ=6sin⁡θ,2\cos\theta=6\sin\theta, so tan⁡θ=13.\tan\theta=\tfrac13. Thus lines SP,RQSP,RQ have slope 33 and lines SR,PQSR,PQ have slope −13.-\tfrac13.

The center lies on the line through (4,0)(4,0) with slope 33 and the line through (10,0)(10,0) with slope −13:-\tfrac13: y=3(x−4),y=3(x-4), y=−13(x−10).y=-\tfrac13(x-10). These meet at (4.6,1.8).(4.6,1.8).

The sum of the coordinates is 4.6+1.8=6.4.4.6+1.8=6.4.

Thus, the correct answer is C.

Problema 16#16
Examen completo
Problema 18#18

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