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2024 AMC 12A Problema 17

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 17 del 2024 AMC 12A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:sistema de ecuacionesfactorizaciónanálisis por casos

Nivel de dificultad: 1890

17.

Los enteros a, b,a,\ b, y cc satisfacen ab+c=100,ab+c=100, bc+a=87,bc+a=87, y ca+b=60.ca+b=60. ¿Cuánto vale ab+bc+caab+bc+ca?

Integers a, b,a,\ b, and cc satisfy ab+c=100,ab+c=100, bc+a=87,bc+a=87, and ca+b=60.ca+b=60. What is ab+bc+ca?ab+bc+ca?

212212

247247

258258

276276

284284

Solución:

Restar por pares da (a−c)(b−1)=13, (a-c)(b-1)=13,\ (a−b)(c−1)=−27,(a-b)(c-1)=-27, y (b−c)(a−1)=40.(b-c)(a-1)=40. Como 1313 es primo, solo surgen unos pocos casos; probándolos se obtiene a=−9, b=−12, c=−8,a=-9,\ b=-12,\ c=-8, que satisfacen las tres ecuaciones originales. Entonces ab+bc+ca=108+96+72ab+bc+ca=108+96+72 =276.=276. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Subtracting pairs gives (a−c)(b−1)=13, (a-c)(b-1)=13,\ (a−b)(c−1)=−27,(a-b)(c-1)=-27, and (b−c)(a−1)=40.(b-c)(a-1)=40. Because 1313 is prime, only a few cases arise; testing them yields a=−9, b=−12, c=−8,a=-9,\ b=-12,\ c=-8, which satisfy all three original equations. Then ab+bc+ca=108+96+72ab+bc+ca=108+96+72 =276.=276. Thus, the correct answer is D.

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El Problema 17 en otros años

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