Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2024 AMC 12A Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2024 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Los enteros a,a, b,b, y cc satisfacen ab+c=100,ab+c=100, bc+a=87,bc+a=87, y ca+b=60.ca+b=60. ¿Cuánto vale ab+bc+caab+bc+ca?

Integers a,a, b,b, and cc satisfy ab+c=100,ab+c=100, bc+a=87,bc+a=87, and ca+b=60.ca+b=60. What is ab+bc+ca?ab+bc+ca?

212212

247247

258258

276276

284284

Respuesta: D
Conceptos:sistema de ecuacionesfactorizaciónanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1890
Pista pequeña:

Resta las ecuaciones por pares, por ejemplo (ab+c)−(bc+a)(ab+c)-(bc+a) se factoriza como (a−c)(b−1)=13(a-c)(b-1)=13

Subtract equations in pairs, e.g. (ab+c)−(bc+a)(ab+c)-(bc+a) factors as (a−c)(b−1)=13(a-c)(b-1)=13

Pista grande:

1313 es primo, así que (a−c, b−1)(a-c,\ b-1) tiene pocas opciones; pruébalas para soluciones enteras

1313 is prime, so (a−c, b−1)(a-c,\ b-1) has few options; test them for integer solutions

Solución:

Al restar la segunda ecuación de la primera se obtiene (a−c)(b−1)=13.(a-c)(b-1)=13. Por tanto, (a−c,b−1)∈{(1,13),(13,1),(−1,−13),(−13,−1)}. \begin{gathered} (a-c,b-1)\in\{(1,13),(13,1),\\ (-1,-13),(-13,-1)\}. \end{gathered} Los valores correspondientes de bb son 14,2,−12,0.14,2,-12,0. Al sustituir a=c+(a−c)a=c+(a-c) en ab+c=100ab+c=100, los dos primeros casos quedan descartados porque exigirían 15c=8615c=86 o 3c=74.3c=74. El caso b=−12b=-12 da c=−8c=-8 y a=−9,a=-9, que satisfacen las tres ecuaciones. El caso b=0b=0 da (a,c)=(87,100),(a,c)=(87,100), que no satisface ca+b=60.ca+b=60. Así, la única solución entera es (−9,−12,−8),(-9,-12,-8), y ab+bc+caab+bc+ca =108+96+72=276.=108+96+72=276. Por tanto, D es la respuesta correcta.

Subtracting the second equation from the first gives (a−c)(b−1)=13.(a-c)(b-1)=13. Hence (a−c,b−1)∈{(1,13),(13,1),(−1,−13),(−13,−1)}. \begin{gathered} (a-c,b-1)\in\{(1,13),(13,1),\\ (-1,-13),(-13,-1)\}. \end{gathered} The corresponding values of bb are 14,2,−12,0.14,2,-12,0. Substituting a=c+(a−c)a=c+(a-c) into ab+c=100ab+c=100 eliminates the first two cases because they would require 15c=8615c=86 or 3c=74.3c=74. The case b=−12b=-12 gives c=−8c=-8 and a=−9,a=-9, which satisfies all three equations. The case b=0b=0 gives (a,c)=(87,100),(a,c)=(87,100), which fails ca+b=60.ca+b=60. Thus the unique integer solution is (−9,−12,−8),(-9,-12,-8), and ab+bc+caab+bc+ca =108+96+72=276.=108+96+72=276. Thus, the correct answer is D.

Problema 16#16
Examen completo
Problema 18#18

El Problema 17 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B