Question

Dado que $i^2=-1,$ ¿para cuántos enteros $n$ es $(n+i)^4$ un entero?

Given that $i^2=-1,$ for how many integers $n$ is $(n+i)^4$ an integer?

ninguno

none

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: D

Conceptos:número complejo teorema del binomio propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Expande $(n+i)^4$ y aísla su parte imaginaria

Expand $(n+i)^4$ and isolate its imaginary part

Pista grande:

Un entero tiene parte imaginaria cero; resuelve la factorización cúbica resultante

An integer has imaginary part zero, so solve the resulting cubic factorization

Solución:

La expansión da $\begin{aligned} (n+i)^4 &=n^4-6n^2+1\\ &\quad+4n(n^2-1)i. \end{aligned}$ La parte imaginaria se anula exactamente cuando $n=0,$ $n=1,$ o $n=-1.$ Para cada uno de estos tres enteros, la parte real es un entero, así que hay $3$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Expansion gives $\begin{aligned} (n+i)^4 &=n^4-6n^2+1\\ &\quad+4n(n^2-1)i. \end{aligned}$ The imaginary part vanishes exactly when $n=0,$ $n=1,$ or $n=-1.$ For each of these three integers the real part is an integer, so there are $3$ values.

Therefore, the correct answer is D.

1980 AMC 12 Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años