Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

1980 AMC 12 Problema 18

Intenta el Problema 18 del 1980 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1980 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Si b>1,b\gt1, sin⁡x>0,\sin x\gt0, cos⁡x>0\cos x\gt0 y log⁡bsin⁡x=a,\log_b\sin x=a, entonces log⁡bcos⁡x\log_b\cos x es igual a

If b>1,b\gt1, sin⁡x>0,\sin x\gt0, cos⁡x>0\cos x\gt0 and log⁡bsin⁡x=a,\log_b\sin x=a, then log⁡bcos⁡x\log_b\cos x equals

2log⁡b(1−ba2)2\log_b(1-b^{\frac{a}{2}})

1−a2\sqrt{1-a^2}

ba2b^{a^2}

12log⁡b(1−b2a)\frac12\log_b(1-b^{2a})

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D
Conceptos:logaritmoidentidad trigonométricaradical
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:

Convierte log⁡bsin⁡x=a\log_b\sin x=a en una ecuación exponencial

Convert log⁡bsin⁡x=a\log_b\sin x=a into an exponential equation

Pista grande:

Usa cos⁡x=1−sin⁡2x\cos x=\sqrt{1-\sin^2x} y la positividad de cos⁡x\cos x

Use cos⁡x=1−sin⁡2x\cos x=\sqrt{1-\sin^2x} and the positivity of cos⁡x\cos x

Solución:

Tenemos sin⁡x=ba,\sin x=b^a, por lo que cos⁡x=1−b2a. \cos x=\sqrt{1-b^{2a}}. Por consiguiente, log⁡bcos⁡x=12log⁡b(1−b2a). \log_b\cos x =\frac12\log_b(1-b^{2a}).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have sin⁡x=ba,\sin x=b^a, so cos⁡x=1−b2a. \cos x=\sqrt{1-b^{2a}}. Therefore log⁡bcos⁡x=12log⁡b(1−b2a). \log_b\cos x =\frac12\log_b(1-b^{2a}).

Therefore, the correct answer is D.

← Problema 17#17
Examen completo
Problema 19#19 →

El Problema 18 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B