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2018 AMC 12A Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2018 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

El triángulo ABCABC con AB=50AB = 50 y AC=10AC = 10 tiene área 120.120. Sea DD el punto medio de AB‾,\overline{AB}, y sea EE el punto medio de AC‾.\overline{AC}. La bisectriz del ∠BAC\angle BAC corta a DE‾\overline{DE} y BC‾\overline{BC} en FF y G,G, respectivamente. ¿Cuál es el área del cuadrilátero FDBGFDBG?
Triangle ABCABC with AB=50AB = 50 and AC=10AC = 10 has area 120.120. Let DD be the midpoint of AB‾,\overline{AB}, and let EE be the midpoint of AC‾.\overline{AC}. The angle bisector of ∠BAC\angle BAC intersects DE‾\overline{DE} and BC‾\overline{BC} at FF and G,G, respectively. What is the area of quadrilateral FDBG?FDBG?
6060
6565
7070
7575
8080
Respuesta: D
Conceptos:teorema de la bisectrizrazón de áreaspunto medio
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:
Como D,ED, E son puntos medios, [ADE]=14[ABC],[ADE] = \tfrac14 [ABC], así que el trapecio EDBCEDBC es el 34\tfrac34 restante
Since D,ED, E are midpoints, [ADE]=14[ABC],[ADE] = \tfrac14 [ABC], so trapezoid EDBCEDBC is the remaining 34\tfrac34
Pista grande:
Por el Teorema de la Bisectriz, la bisectriz corta a DEDE y BCBC en razón AB:AC=5:1,AB : AC = 5 : 1, haciendo que FDBGFDBG sea igual a 56\tfrac56 de EDBCEDBC
By the Angle Bisector Theorem the bisector cuts DEDE and BCBC in ratio AB:AC=5:1,AB : AC = 5 : 1, making FDBGFDBG equal to 56\tfrac56 of EDBCEDBC
Solución:
Como DD y EE son puntos medios, △ADE\triangle ADE tiene 14\tfrac14 del área de △ABC,\triangle ABC, a saber 30,30, así que el trapecio EDBCEDBC tiene área 120−30=90.120 - 30 = 90.
Por el Teorema de la Bisectriz, GG divide a BCBC con BG=ABAB+AC⋅BC=56BC,BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC, y de igual modo FF divide a DEDE de modo que DF=56DE.DF = \tfrac56 DE. Como FDBGFDBG y EDBCEDBC comparten la misma altura, el área de FDBGFDBG es 56\tfrac56 del área de EDBC:EDBC: 56⋅90=75.\tfrac56 \cdot 90 = 75.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Since DD and EE are midpoints, △ADE\triangle ADE has 14\tfrac14 the area of △ABC,\triangle ABC, namely 30,30, so trapezoid EDBCEDBC has area 120−30=90.120 - 30 = 90.
By the Angle Bisector Theorem, GG divides BCBC with BG=ABAB+AC⋅BC=56BC,BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC, and likewise FF divides DEDE so that DF=56DE.DF = \tfrac56 DE. Because FDBGFDBG and EDBCEDBC share the same height, the area of FDBGFDBG is 56\tfrac56 of the area of EDBC:EDBC: 56⋅90=75.\tfrac56 \cdot 90 = 75.
Thus, the correct answer is D.
Problema 17#17
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