Question

Los puntos $A$ y $B$ están en la parábola $y = 4x^2 + 7x - 1,$ y el origen es el punto medio de $\overline{AB}.$ ¿Cuál es la longitud de $AB$ ?

Points $A$ and $B$ are on the parabola $y = 4x^2 + 7x - 1,$ and the origin is the midpoint of $\overline{AB}.$ What is the length of $AB?$

$2\sqrt{5}$

$5 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$5 + \sqrt{2}$

$7$

$5\sqrt{2}$

Solución:

Sea $B = (a, b)$ y $A = (-a, -b).$ Entonces $4a^2 + 7a - 1 = b$ y $4a^2 - 7a - 1 = -b.$ Restando se obtiene $14a = 2b,$ así que $b = 7a.$ Luego $4a^2 + 7a - 1 = 7a$ da $a^2 = \dfrac14,$ y $b^2 = 49a^2 = \dfrac{49}{4}.$ Así $AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}$ $= 2\sqrt{\dfrac{50}{4}} = 5\sqrt{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $B = (a, b)$ and $A = (-a, -b).$ Then $4a^2 + 7a - 1 = b$ and $4a^2 - 7a - 1 = -b.$ Subtracting gives $14a = 2b,$ so $b = 7a.$ Then $4a^2 + 7a - 1 = 7a$ gives $a^2 = \dfrac14,$ and $b^2 = 49a^2 = \dfrac{49}{4}.$ So $AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}$ $= 2\sqrt{\dfrac{50}{4}} = 5\sqrt{2}.$

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años