Question

¿Cuál es el área de la región encerrada por la gráfica de la ecuación $x^2+y^2=|x|+|y|$ ?

What is the area of the region enclosed by the graph of the equation $x^2+y^2=|x|+|y|?$

$\pi+\sqrt2$

$\pi+2$

$\pi+2\sqrt2$

$2\pi+\sqrt2$

$2\pi+2\sqrt2$

Solución:

Por simetría, considera el primer cuadrante, donde la ecuación es $x^2+y^2=x+y,$ o $\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac12\right)^2=\tfrac12.$ Esta es una circunferencia centrada en $\left(\tfrac12,\tfrac12\right)$ que pasa por $(1,0)$ y $(0,1);$ como el centro es el punto medio de esa cuerda, la región encerrada en el primer cuadrante es el triángulo rectángulo con catetos hacia $(1,0)$ y $(0,1)$ (área $\tfrac12$ ) más un semicírculo de radio $\dfrac{\sqrt2}{2}$ (área $\dfrac\pi4$ ). Multiplicando por $4$ para todos los cuadrantes se obtiene $4\left(\tfrac12+\tfrac\pi4\right)=\pi+2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By symmetry, consider the first quadrant, where the equation is $x^2+y^2=x+y,$ or $\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac12\right)^2=\tfrac12.$ This is a circle centered at $\left(\tfrac12,\tfrac12\right)$ passing through $(1,0)$ and $(0,1);$ since the center is the midpoint of that chord, the enclosed first-quadrant region is the right triangle with legs to $(1,0)$ and $(0,1)$ (area $\tfrac12$ ) plus a semicircle of radius $\dfrac{\sqrt2}{2}$ (area $\dfrac\pi4$ ). Multiplying by $4$ for all quadrants gives $4\left(\tfrac12+\tfrac\pi4\right)=\pi+2.$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años