2022 AMC 12B Problema 18
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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
18.
Cada casilla de una cuadrícula está llena o vacía, y tiene hasta ocho casillas vecinas adyacentes, donde las casillas vecinas comparten un lado o una esquina. La cuadrícula se transforma según las siguientes reglas:
Toda casilla llena con dos o tres vecinas llenas permanece llena. Toda casilla vacía con exactamente tres vecinas llenas se convierte en llena. Todas las demás casillas permanecen vacías o se vuelven vacías.
En la figura de abajo se muestra una transformación de ejemplo.
Supón que la cuadrícula tiene un borde de casillas vacías que rodea una subcuadrícula . ¿Cuántas configuraciones iniciales llevan a una cuadrícula transformada que consiste en una sola casilla llena en el centro tras una única transformación? (Las rotaciones y reflexiones de la misma configuración se consideran diferentes.)
Each square in a grid is either filled or empty, and has up to eight adjacent neighboring squares, where neighboring squares share either a side or a corner. The grid is transformed by the following rules:
Any filled square with two or three filled neighbors remains filled. Any empty square with exactly three filled neighbors becomes a filled square. All other squares remain empty or become empty.
A sample transformation is shown in the figure below.
Suppose the grid has a border of empty squares surrounding a subgrid. How many initial configurations will lead to a transformed grid consisting of a single filled square in the center after a single transformation? (Rotations and reflections of the same configuration are considered different.)
Respuesta: C
Pista pequeña:
Solo la interior puede llenarse; para que el centro quede lleno necesita exactamente vecinas llenas (si estaba vacío) o - (si estaba lleno).
Only the inner can be filled; the center becoming filled needs exactly filled neighbors (if it was empty) or - (if it was filled)
Pista grande:
La restricción determinante es que ninguna casilla del borde gane exactamente tres vecinas llenas; verifica que toda configuración válida tiene exactamente tres casillas llenas.
The binding constraint is that no border square gains exactly three filled neighbors; check that every valid configuration has exactly three filled cells
Solución:
Solo las casillas de la interior pueden comenzar llenas. Para que el centro quede lleno después, si empezó vacío necesita exactamente vecinas llenas, y si empezó lleno necesita o
Toda otra casilla debe terminar vacía. La restricción clave es que ninguna casilla del borde puede adquirir exactamente tres vecinas llenas, lo que descarta llenar las tres casillas a lo largo de un borde exterior de la
Si el centro empieza vacío, exactamente de sus vecinas deben estar llenas. Al revisar estas ternas salvo simetrías del cuadrado quedan cuatro tipos. Con coordenadas del anillo centradas en los representantes son Los tamaños de sus órbitas de simetría son lo que da configuraciones.
Si el centro empieza lleno, la misma revisión de vecinas deja solo las dos configuraciones en las que las otras casillas llenas son vecinas de esquinas opuestas. Por lo tanto, el total es
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Only the inner squares can start filled. For the center to be filled afterward, if it began empty it needs exactly filled neighbors, and if it began filled it needs or
Every other square must end empty. The key restriction is that no border square may acquire exactly three filled neighbors, which rules out filling all three squares along an outer edge of the
If the center starts empty, exactly of its neighbors must be filled. Checking these triples up to square symmetry leaves four types. With ring coordinates centered at representatives are Their symmetry-orbit sizes are giving configurations.
If the center starts filled, the same neighbor check leaves only the two configurations in which the other filled cells are opposite corner neighbors. Hence the total is
Thus, the correct answer is C.
El Problema 18 en otros años
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