Question

Awnik juega repetidamente un juego que tiene una probabilidad de ganar de $\dfrac{1}{3}.$ Los resultados de los juegos son independientes. ¿Cuál es el valor esperado del número de juegos que jugará hasta que haya ganado y perdido al menos una vez cada uno?

Awnik repeatedly plays a game that has a probability of winning of $\dfrac{1}{3}.$ The outcomes of the games are independent. What is the expected value of the number of games he will play until he has both won and lost at least once?

$\dfrac{5}{2}$

$3$

$\dfrac{16}{5}$

$\dfrac{7}{2}$

$\dfrac{15}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:valor esperado distribución geométrica

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Después del primer juego ya tienes un resultado; luego solo esperas el resultado contrario.

After the first game you already have one outcome; you then wait only for the opposite outcome

Pista grande:

El número esperado de juegos para obtener un resultado de probabilidad $p$ es $\dfrac{1}{p};$ condiciona según si el primer juego es victoria o derrota.

The expected number of games to get an outcome of probability $p$ is $\dfrac{1}{p};$ condition on whether the first game is a win or a loss

Solución:

El primer juego produce un resultado. Si fue una victoria (probabilidad $\tfrac{1}{3}$ ), la espera esperada de una derrota es $\tfrac{1}{\frac{2}{3}} = \tfrac{3}{2};$ si fue una derrota (probabilidad $\tfrac{2}{3}$ ), la espera esperada de una victoria es $\tfrac{1}{\frac{1}{3}} = 3.$ Así que el total esperado es $1 + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 1 + \tfrac{1}{2} + 2$ $= \tfrac{7}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first game produces one outcome. If it was a win (probability $\tfrac{1}{3}$ ), the expected wait for a loss is $\tfrac{1}{\frac{2}{3}} = \tfrac{3}{2};$ if it was a loss (probability $\tfrac{2}{3}$ ), the expected wait for a win is $\tfrac{1}{\frac{1}{3}} = 3.$ So the expected total is $1 + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 1 + \tfrac{1}{2} + 2$ $= \tfrac{7}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

2025 AMC 12B Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años