Question

Una rana da $3$ saltos, cada uno exactamente de $1$ metro de largo. Las direcciones de los saltos se eligen independientemente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la posición final de la rana esté a no más de $1$ metro de su posición inicial?

A frog makes $3$ jumps, each exactly $1$ meter long. The directions of the jumps are chosen independently and at random. What is the probability that the frog's final position is no more than $1$ meter from its starting position?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Esta es una probabilidad continua (geométrica). Fija el segundo salto de $P=(0,0)$ a $Q=(1,0),$ y sean $\alpha,\beta$ las direcciones del primer y tercer salto, así el inicio es $A=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ y el final es $B=(1+\cos\beta,\sin\beta).$

Tomando $0\le\alpha\le\pi$ y $0\le\beta\le2\pi,$ el requisito $AB\le1$ se cumple exactamente cuando $\alpha\le\beta\le\pi.$

En el rectángulo $\alpha\beta$ de área $2\pi^2,$ la región favorable es un triángulo de área $\tfrac{\pi^2}{2},$ así que la probabilidad es $\dfrac{\pi^2/2}{2\pi^2}=\dfrac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

This is a continuous (geometric) probability. Anchor the second jump from $P=(0,0)$ to $Q=(1,0),$ and let $\alpha,\beta$ be the directions of the first and third jumps, so the start is $A=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ and the end is $B=(1+\cos\beta,\sin\beta).$

Taking $0\le\alpha\le\pi$ and $0\le\beta\le2\pi,$ the requirement $AB\le1$ holds exactly when $\alpha\le\beta\le\pi.$

In the $\alpha\beta$ -rectangle of area $2\pi^2,$ the favorable region is a triangle of area $\tfrac{\pi^2}{2},$ so the probability is $\dfrac{\pi^2/2}{2\pi^2}=\dfrac14.$

Thus, the correct answer is C.

2010 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años